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Cálculo de laplacianos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule el laplaciano de los campos escalares

  1. \phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,
  2. \phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,
  3. \phi = \rho^3\cos\varphi
  4. \phi = r^3\,\mathrm{sen}\,\theta

empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

2 Solución

2.1 Primer campo

El laplaciano se define como la divergencia del gradiente. Para el campo (1) se ve en el problema de cálculo de gradientes que su gradiente vale

\nabla\phi = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z} = \mathbf{r}

Hallar el laplaciano de \phi\, equivale a calcular la divergencia del vector de posición. Pero este cálculo ya se hace en el problema de cálculo de divergencias y rotacionales. Allí se ve que, independientemente del sistema empleado para calcularla

\nabla^2\phi = \nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla{\cdot}\mathbf{r} = 3

2.2 Segundo campo

2.3 Tercer campo

2.4 Cuarto campo

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_laplacianos"

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