Problemas de fundamentos matemáticos

De Laplace

Revisión a fecha de 09:02 23 sep 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Campos escalares en diferentes sistemas
2 Campos vectoriales en diferentes sistemas
3 Trazado de superficies equiescalares
4 Cálculo de gradientes
5 Regla de la cadena para gradientes
6 Integral sobre una superficie esférica
7 Cálculo de divergencias y rotacionales
8 Cálculo de flujo
9 Cálculo de circulación
10 Demostración de identidades vectoriales

1 Campos escalares en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$
$\phi = (z\cos\varphi)/\rho$
$\phi = \cot\theta - \tan\theta\,$

2 Campos vectoriales en diferentes sistemas

Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

$\mathbf{A} = \mathbf{r}\,$
$\mathbf{B} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{x}+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{y}$
$\mathbf{C} = 2\rho z\mathbf{u}_{\rho}-(\rho^2-z^2)\mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{D}=r\tan\theta\,\mathbf{u}_{\theta}$

3 Trazado de superficies equiescalares

Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

$\phi=\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r}\,$
$\phi=r^2\,$
$\phi=\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r}+r^2\,$
$\phi= r^2/(\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r})$
$\phi = x^2 + y^2\,$
$\phi = \arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)$
$\phi= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

donde $\mathbf{A}$ es un vector constante y $\mathbf{r}$ es el vector de posición.

4 Cálculo de gradientes

Para los campos escalares

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

5 Regla de la cadena para gradientes

Si $\phi = \phi(u)\,$ , con $u = u(\mathbf{r})$ , demuestre que

$\nabla \phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u} \nabla u$

Encuentre $\nabla \phi$ si

$\phi=\ln|\mathbf{r}|\,$
$\phi =r^n\,$
$\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}$

6 Integral sobre una superficie esférica

Halle el valor de la integral

$\oint \mathbf{A} \mathrm{d}S$

con

$\mathbf{A}=\cot\theta\mathbf{u}_{r}-\mathbf{u}_{\theta}$

y la superficie de integración una esfera de radio $R$ centrada en el origen.

7 Cálculo de divergencias y rotacionales

Para los campos vectoriales

$\mathbf{A} = \mathbf{r}\,$
$\mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,$
$\mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,$
$\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathop{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}$ $

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?

8 Cálculo de flujo

Para el campo vectorial

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,$

calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

Un cubo de arista $a$ , con un vértice en el origen y aristas $a\mathbf{u}_{x}$ , $a\mathbf{u}_{y}$ y $a\mathbf{u}_{z}$ .
Un cilindro circular de altura $h$ y radio $R$ , con el eje $Z$ como eje y sus bases situadas en $z = 0$ y $z = h$ .
Una esfera de radio $R$ en torno al origen de coordenadas.

En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

9 Cálculo de circulación

Para el campo vectorial

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$

calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

Un cuadrado de lado $2 a$ , con vértices $\pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}$ .
Una circunferencia de radio $R$ situada en el plano $z = 0$ y con centro el origen de coordenadas.
Una circunferencia vertical, situada en el plano $x = y$ y con centro el origen de coordenadas.