Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Cálculo de laplacianos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule el laplaciano de los campos escalares

  1. \phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,
  2. \phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,
  3. \phi = \rho^3\cos\varphi
  4. \phi = r^3\,\mathrm{sen}\,\theta

empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

2 Solución

2.1 Primer campo

El laplaciano se define como la divergencia del gradiente. Para el campo (1) se ve en el problema de cálculo de gradientes que su gradiente vale

\nabla\phi = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z} = \mathbf{r}

Hallar el laplaciano de \phi\, equivale a calcular la divergencia del vector de posición. Pero este cálculo ya se hace en el problema de cálculo de divergencias y rotacionales. Allí se ve que, independientemente del sistema empleado para calcularla

\nabla^2\phi = \nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla{\cdot}\mathbf{r} = 3

2.2 Segundo campo

Para el segundo campo, de nuevo calculamos su gradiente en un problema y la divergencia de éste en otro, donde se ve que

\nabla^2\phi = \nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla{\cdot}\left(-x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\right)= 0

2.3 Tercer campo

2.4 Cuarto campo

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_laplacianos"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace