Problemas de dinámica de la partícula (GIE)

De Laplace

1 Movimiento a partir de una fuerza conocida

Una partícula material de masa m parte del origen de coordenadas con velocidad , encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición

siendo la posición instantánea de la partícula, y A, B y C constantes positivas conocidas.

Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, t.

2 Masa girando alrededor de una mano

Una masa de 0.5 kg situada en el extremo de una cuerda de 50 cm de longitud se hace girar horizontalmente con la mano de manera que da 2 vueltas por segundo. ¿Puede estar la cuerda completamente horizontal? Determine la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la horizontal.

3 Dos bloques apilados

Sobre una mesa horizontal se encuentran apilados dos bloques, siendo el inferior de masa m₁ y el superior de masa m₂. El coeficiente de rozamiento estático del bloque inferior con la mesa vale μ₁ y el del segundo bloque con el primero μ₂. Los coeficientes de rozamiento dinámico valen lo mismo que los estáticos.

1. Para el estado de reposo y sin fuerzas laterales aplicadas, indique la fuerza que la mesa ejerce sobre el bloque inferior y el que éste ejerce sobre el superior.
2. Suponiendo μ₁ = 0, se tira del bloque inferior con una fuerza horizontal F. ¿Qué fuerzas actúan sobre cada bloque? ¿Cuánto debe valer como mínimo esta fuerza si se quiere que el bloque superior se quede atrás? ¿Cuánto vale la aceleración de cada bloque para valores de la fuerza inferiores o superiores a este valor crítico?
3. Resuelva las mismas cuestiones que en el apartado anterior, suponiendo ahora .
4. Calcule los valores de las diferentes fuerzas y las aceleraciones si , , μ₁ = 0.30, μ₂ = 0.50 para (a) (b) (c)

4 Dos masas, un plano y un hilo

Se tienen dos masas m₁ y m₂ atadas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea también ideal (de masa despreciable y sin rozamiento). La masa m₁ se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo α. La masa m₂ cuelga verticalmente.

1. Suponiendo que no hay rozamiento, determine la aceleración de las masas. ¿Cuál debe ser la relación entre ellas para que el sistema se quede en equilibrio?
2. Entre la masa m₁ y el plano existe un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ. ¿Entre qué valores mínimo y máximo debe estar m₂ para que las masas queden en equilibrio?
3. Sea , tg(α) = 0.75 y μ = 0.30. ¿Cuánto vale la aceleración de las masas si (a) , (b) y (c) .

5 Doble máquina de Atwood

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento). Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

6 Curvas y peraltes

El circuito de Indianápolis posee curvas de 200m de radio peraltadas un ángulo de 9º12'.

1. Si no se considera el rozamiento, ¿con qué rapidez debe ir un coche si no quiere deslizarse ni hacia arriba ni hacia abajo?
2. El coeficiente de rozamiento lateral de un coche con la pista vale μ = 1.50. ¿Cuáles son las velocidades máximas y mínimas que puede adquirir un coche sin derrapar?

7 Amortiguamiento viscoso

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma . Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa m impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia x₀ hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

8 Dos resortes enfrentados

Una partícula de masa m se encuentra situada entre dos resortes de longitudes en reposo l₁₀ y l₂₀, que se encuentran atados a paredes opuestas separadas una distancia L. Los muelles poseen constantes de recuperación k₁ y k₂.

1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿A cuanto tiende esta posición si ? ¿Y si ?
2. Estando en la posición de equilibrio, se le comunica a la masa una velocidad v₀. Determine la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones resultantes.

9 Resorte con rozamiento seco

Se tiene una masa atada a un resorte de constante y longitud en reposo . La masa reposa sobre una superficie horizontal sobre la que existe un pequeño coeficiente de rozamiento μ = 0.10. El muelle se comprime una cantidad respecto a su posición de equilibrio.

1. Despreciando en primer lugar el rozamiento, determine la máxima distancia de la pared a la que llega la masa.
2. Teniendo en cuenta el rozamiento, ¿cuánto vale la distancia de máximo alejamiento?
3. Al volver a comprimirse el muelle, la masa no retorna a su posición inicial. ¿A qué distancia de la pared se detiene instantáneamente?
4. ¿Al cabo de cuantas oscilaciones se detiene del todo? ¿Dónde se queda parada?

10 Partícula cargada en campo magnético uniforme

Una carga q en campo magnético experimenta una fuerza

Se trata de deducir cómo se mueve la partícula en el caso en el que el campo magnético sea una constante independiente de la posición.

1. Suponga en primer lugar que la velocidad inicial de la partícula es paralela al campo magnético, . ¿Cuánto vale la aceleración en el instante inicial? ¿Cuanto vale la velocidad un instante posterior? ¿Cómo es el movimiento de la carga en ese caso?
2. Suponga ahora el caso de una carga cuya velocidad inicial es perpendicular al campo magnético, .
   1. Demuestre que el movimiento resultante es un movimiento plano.
   2. Demuestre que la rapidez del movimiento es constante
   3. Calcule el radio de curvatura de la trayectoria que describe la carga
   4. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
3. Suponga, por último, una velocidad inicial arbitraria . Combinando los resultados anteriores, ¿qué movimiento realiza la carga?

11 Partícula en el interior de un tubo

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular ω constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

        

donde , función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

1. Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
2. Suponga que
   1. Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
   2. Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   3. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración

12 Fuerza en anilla ensartada en varillas

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

13 Partícula suspendida de resorte y barra

Una partícula de peso se encuentra atada simultáneamente a una barra rígida de longitud y a un muelle de longitud natural nula y constante . Los anclajes de la barra y el resorte distan .

1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿Cuánto vale la tensión de la barra en este momento? ¿Cuál es la longitud del resorte?
2. Suponga que se corta la unión de la masa con el resorte. ¿Qué tipo de movimiento describe la masa a partir de ese momento? Halle la rapidez máxima que alcanza.
3. Suponga que, en lugar de lo anterior, se corta la unión de la masa con la barra. ¿Qué movimiento describe en ese caso? Calcule la amplitud y frecuencia del movimiento resultante. Halle la rapidez máxima que alcanza.