Cálculo de laplacianos

De Laplace

Revisión a fecha de 14:59 24 sep 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Calcule el laplaciano de los campos escalares

$\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,$
$\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,$
$\phi = \rho^3\cos\varphi$
$\phi = r^3\,\mathrm{sen}\,\theta$

empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

2 Solución

2.1 Primer campo

El laplaciano se define como la divergencia del gradiente. Para el campo (1) se ve en el problema de cálculo de gradientes#Primer campo que su gradiente vale

$\nabla\phi = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z} = \mathbf{r}$

Hallar el laplaciano de $\phi\,$ equivale a calcular la divergencia del vector de posición. Pero este cálculo ya se hace en el problema de cálculo de divergencias y rotacionales. Allí se ve que, independientemente del sistema empleado para calcularla

$\nabla^2\phi = \nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla{\cdot}\mathbf{r} = 3$

2.2 Segundo campo

2.3 Tercer campo

2.4 Cuarto campo

Cálculo de laplacianos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Primer campo

2.2 Segundo campo

2.3 Tercer campo

2.4 Cuarto campo

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