Problemas de vectores libres (GIC)

De Laplace

Revisión de 11:11 28 sep 2011

1 Suma y diferencia de vectores

El vector tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de con el eje X, mientras que el vector tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje X. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

2 Componentes cartesianas de un vector

Calcula las componentes cartesianas de un vector con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo con el eje Z y cuya proyección en el plano XY forma un ángulo con el eje + X. Calcula también los ángulos con los ejes X e Y.

3 Diagonales de un rombo

Usando el álgebra vectorial, demuestra que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

4 Ángulo capaz de 90^o

Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro cualquiera, demuestra que las cuerdas y se cortan perpendicularmente,para todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz de 90^o).

5 Producto vectorial de dos vectores

Calcula el producto vectorial de los vectores del problema 3, así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros.

6 Teoremas del seno y del coseno

Usando el álgebra vectorial, demuestra el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

7 Vértices de un tetraedro

Los puntos O, A, B y C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, tal que la cara OAB del tetraedro está contenida en el plano OXY, y el vértice B es un punto del eje OY (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.

8 Producto mixto nulo

Dados los vectores , y , demuestra que la relación se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:

1. Los tres vectores son colineales.
2. Dos de los vectores son colineales.
3. , y no son colineales pero sí coplanarios.

9 Volumen de un paralelepípedo

Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores , y . Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1) (unidades medidas en metros).

10 Volumen de un tetraedro

Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas A(0,1,1) y B(2, − 1,2), y que dos de las aristas que concurren en B están definidas por los vectores libres y (las coordenadas están en metros).

11 Distancia de un punto a un plano

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector . Calcula la distancia que separa al origen O de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

12 Distancia mínima entre dos rectas

Hallar la menor distancia entre las rectas Δ(A,B) y Γ(C,D), y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas A(1, − 2, − 1) y B(4,0, − 3), para el caso de Δ, y C(1,2, − 1) y D(2, − 4, − 5), para la recta Γ.

13 Condiciones sobre producto escalar y vectorial

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones

siendo , entonces ; pero si sólo se cumple una de ellas, entonces .