Corrientes de magnetización
De Laplace
(Nueva página: ==Definición== ===Transformación del potencial vector=== ===Definición de las corrientes=== ====Volumétricas==== ====Superficiales==== ==Interpretación física== ==Ejemplos== ===...) |
(→Transformación del potencial vector) |
||
| (12 ediciones intermedias no se muestran.) | |||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
==Definición== | ==Definición== | ||
===Transformación del potencial vector=== | ===Transformación del potencial vector=== | ||
| + | La expresión para el [[Campo_magnético_debido_a_una_magnetización#Potencial_vector|potencial vector de un cuerpo magnetizado]] | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathbf{M}(\mathbf{r}')\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrm{d}\tau'</math></center> | ||
| + | |||
| + | puede transformarse, mediante cálculo vectorial, en la expresión equivalente | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int _\tau\frac{\nabla'\times\mathbf{M}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\partial\tau} \frac{\mathbf{M}\times\mathrm{d}\mathbf{S}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}</math></center> | ||
| + | |||
| + | que puede reescribirse en la forma | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_\tau \frac{\mathbf{J}_m}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\partial\tau}\frac{\mathbf{K}_m}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}S'</math></center> | ||
| + | |||
| + | con | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{J}_m(\mathbf{r}') = \nabla'\times\mathbf{M}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{K}_m(\mathbf{r}')=\mathbf{M}\times\mathbf{n}</math></center> | ||
| + | |||
| + | siendo <math>\mathbf{n}</math> la normal exterior al volumen magnetizado. | ||
| + | |||
| + | Aparentemente hemos dado un paso atrás, ya que hemos sustituido una integral de volumen por la suma de dos integrales, una de volumen y otra de superficie. No obstante, hemos progresado, ya que hemos reducido el potencial vector a una expresión que ya conocemos: el potencial vector equivale a la superposición del [[Potencial_vector_magnético#Expresión_integral|potencial vector de una corriente]] volumétrica y de una superficial, siendo <math>\mathbf{J}_m</math> y <math>\mathbf{K}_m</math> sus densidades respectivas. | ||
| + | |||
===Definición de las corrientes=== | ===Definición de las corrientes=== | ||
====Volumétricas==== | ====Volumétricas==== | ||
| Línea 7: | Línea 27: | ||
==Ejemplos== | ==Ejemplos== | ||
===Imán cilíndrico=== | ===Imán cilíndrico=== | ||
| - | === | + | {{ac|Imán cilíndrico}} |
| + | Supongamos un cilindro de radio <math>R</math> y longitud <math>L</math> imanado axialmente con una magnetización uniforme <math>\mathbf{M}_0=M_0\mathbf{u}_z</math>. Para este imán | ||
| + | |||
| + | * Las corrientes volumétricas de magnetización son nulas: | ||
| + | |||
| + | :* En el interior, por ser uniforme la imanación | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{J}_m=\nabla\times\mathbf{M}_0=\mathbf{0}</math></center> | ||
| + | |||
| + | :* En el exterior, por no haber magnetización | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{J}_m=\nabla\times\mathbf{0}=\mathbf{0}</math></center> | ||
| + | |||
| + | * Para las corrientes superficiales debemos distinguir entre las bases y la cara lateral | ||
| + | |||
| + | :* En las bases se anulan, por ser paralelos el vector normal y la imanación | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{K}_m=\mathbf{M}_0\times\mathbf{n}=(M_0\mathbf{u}_z)\times(\pm\mathbf{u}_z)=\mathbf{0}</math></center> | ||
| + | |||
| + | :* En la cara lateral resulta una corriente acimutal | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{K}_m=\mathbf{M}_0\times\mathbf{n}=M_0\mathbf{u}_{z}\times\mathbf{u}_{\rho}=M_0\mathbf{u}_{\varphi}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Por tanto, un imán cilíndrico es equivalente a un solenoide cilíndrico. | ||
| + | |||
| + | ===Barra imanada en dirección acimutal=== | ||
| + | Cuando se tiene un cilindro de un material magnético recorrido por corrientes longitudinales el campo magnético y la imanación van en la dirección acimutal, [[Campos_vectoriales_en_diferentes_sistemas#Quinto_campo|expresable en cilíndricas o cartesianas]] como | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{M}=C\rho\mathbf{u}_\varphi = C(-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y)</math></center> | ||
| + | |||
| + | Supongamos un cilindro de radio <math>R</math> y longitud <math>L</math> imanado de esta forma. Las corrientes de magnetización son nulas en el exterior del cilindro, mientras que en el interior puede [[Cálculo_de_divergencias_y_rotacionales#Campo_B|hallarse su rotacional]] | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}=2C\mathbf{u}_z</math></center> | ||
| + | |||
| + | Para las corrientes superficiales tenemos | ||
| + | |||
| + | * En la base superior <math>\mathbf{n}=+\mathbf{u}_z</math> y | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{K}_m = \mathbf{M}\times\mathbf{n}= C\rho\mathbf{u}_\rho\,</math></center> | ||
| + | |||
| + | * En la base inferior <math>\mathbf{n}=-\mathbf{u}_z</math> y | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{K}_m = \mathbf{M}\times\mathbf{n}= -C\rho\mathbf{u}_\rho\,</math></center> | ||
| + | |||
| + | * En la cara lateral <math>\mathbf{n}=\mathbf{u}_\rho</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{K}_m = \mathbf{M}\times\mathbf{n}= -CR\mathbf{u}_z\,</math></center> | ||
| + | |||
| + | Las corrientes de magnetización en este sistema suben por el interior del volumen, van radialmente hacia la superficie exterior por la cara superior, bajan por la cara lateral y vuelven radialmente hacia adentro por la base inferior. El resultado son líneas de corriente cerradas en torno a la imanación. | ||
[[Categoría:Materiales magnéticos]] | [[Categoría:Materiales magnéticos]] | ||
última version al 14:54 3 abr 2009
Contenido |
1 Definición
1.1 Transformación del potencial vector
La expresión para el potencial vector de un cuerpo magnetizado
puede transformarse, mediante cálculo vectorial, en la expresión equivalente
que puede reescribirse en la forma
con
siendo 
la normal exterior al volumen magnetizado.
Aparentemente hemos dado un paso atrás, ya que hemos sustituido una integral de volumen por la suma de dos integrales, una de volumen y otra de superficie. No obstante, hemos progresado, ya que hemos reducido el potencial vector a una expresión que ya conocemos: el potencial vector equivale a la superposición del potencial vector de una corriente volumétrica y de una superficial, siendo 
y 
sus densidades respectivas.
1.2 Definición de las corrientes
1.2.1 Volumétricas
1.2.2 Superficiales
2 Interpretación física
3 Ejemplos
3.1 Imán cilíndrico
Supongamos un cilindro de radio R y longitud L imanado axialmente con una magnetización uniforme 
. Para este imán
- Las corrientes volumétricas de magnetización son nulas:
- En el interior, por ser uniforme la imanación
- En el exterior, por no haber magnetización
- Para las corrientes superficiales debemos distinguir entre las bases y la cara lateral
- En las bases se anulan, por ser paralelos el vector normal y la imanación
- En la cara lateral resulta una corriente acimutal
Por tanto, un imán cilíndrico es equivalente a un solenoide cilíndrico.
3.2 Barra imanada en dirección acimutal
Cuando se tiene un cilindro de un material magnético recorrido por corrientes longitudinales el campo magnético y la imanación van en la dirección acimutal, expresable en cilíndricas o cartesianas como
Supongamos un cilindro de radio R y longitud L imanado de esta forma. Las corrientes de magnetización son nulas en el exterior del cilindro, mientras que en el interior puede hallarse su rotacional
Para las corrientes superficiales tenemos
- En la base superior
y
- En la base inferior
y
- En la cara lateral
Las corrientes de magnetización en este sistema suben por el interior del volumen, van radialmente hacia la superficie exterior por la cara superior, bajan por la cara lateral y vuelven radialmente hacia adentro por la base inferior. El resultado son líneas de corriente cerradas en torno a la imanación.
