Primera convocatoria 2012/13 (F2GIA)

De Laplace

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-	[[Archivo:induc_barra_escuadra_0.gif|right]]Dos conductores rectilíneos filiformes de resistencia despreciable, están contenidos en el plano <math>OXY</math>, conectados en ángulo recto en el punto <math>O</math>, y de manera que el eje <math>OX</math> coincide con la bisectriz del ángulo recto que forman los hilos conductores. Un barra de aluminio, de sección <math>S</math> y longitud <math>a</math>, se mueve manteni\'{e}ndose siempre perpendicular al eje <math>OX</math>, y en contacto con los conductores filiformes. El movimiento de la barra es tal que partiendo del punto <math>O</math>, su centro <math>C</math> se desplaza con velocidad constante <math>v_0</math> en el sentido positivo del eje. Todo el sistema está	+	[[Archivo:induc_barra_escuadra_0.gif|right]]Dos conductores rectilíneos filiformes de resistencia despreciable, están contenidos en el plano <math>OXY</math>, conectados en ángulo recto en el punto <math>O</math>, y de manera que el eje <math>OX</math> coincide con la bisectriz del ángulo recto que forman los hilos conductores. Un barra de aluminio, de sección <math>S</math> y longitud <math>a</math>, se mueve manteniéndose siempre perpendicular al eje <math>OX</math>, y en contacto con los conductores filiformes. El movimiento de la barra es tal que partiendo del punto <math>O</math>, su centro <math>C</math> se desplaza con velocidad constante <math>v_0</math> en el sentido positivo del eje. Todo el sistema está sometido a un campo magnético uniforme y constante, <math>\mathbf{B}_0=B_0\!\ \mathbf{k}</math>.
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	# Obtenga la expresión que describe cómo varía en el tiempo el flujo magnético a través de la espira <math>\partial\Sigma</math> formada por los conductores filiformes y la barra (considérese despreciable la autoinducción de la espira). Obtenga también la fuerza electromotriz inducida en dicho circuito.		# Obtenga la expresión que describe cómo varía en el tiempo el flujo magnético a través de la espira <math>\partial\Sigma</math> formada por los conductores filiformes y la barra (considérese despreciable la autoinducción de la espira). Obtenga también la fuerza electromotriz inducida en dicho circuito.
	# Determine la expresión de la intensidad de corriente eléctrica inducida, indicando el sentido en que recorre la espira. Asimismo, obtenga las expresiones de la potencia disipada por efecto Joule en la barra, y del calor total generado desde que ésta empieza a moverse hasta que pierde el contacto con los conductores filiformes.		# Determine la expresión de la intensidad de corriente eléctrica inducida, indicando el sentido en que recorre la espira. Asimismo, obtenga las expresiones de la potencia disipada por efecto Joule en la barra, y del calor total generado desde que ésta empieza a moverse hasta que pierde el contacto con los conductores filiformes.
	# Obtenga la fuerza magnética (magnitud vectorial) que actúa sobre la corriente en la barra móvil, en función de su posición.		# Obtenga la fuerza magnética (magnitud vectorial) que actúa sobre la corriente en la barra móvil, en función de su posición.
-	# Sabiendo que la conductividad del aluminio es <math>sigma_{{}_\mathrm{Al}}=37.7\times10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, calcule el valor de la intensidad de corriente, el calor generado por efecto Joule en la barra y el valor m\'{a}ximo de la fuerza magnética que actúa sobre ella, para el caso: <math>B_0=0.1\,\mathrm{T}</math>; <math>v_0=1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>; <math>S=79.6\,\mathrm{mm}^2</math>; <math>a=1\,\mathrm{m}</math>.	+	# Sabiendo que la conductividad del aluminio es <math>\sigma_{{}_\mathrm{Al}}=37.7\times10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, calcule el valor de la intensidad de corriente, el calor generado por efecto Joule en la barra y el valor máximo de la fuerza magnética que actúa sobre ella, para el caso: <math>B_0=0.1\,\mathrm{T}</math>; <math>v_0=1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>; <math>S=79.6\,\mathrm{mm}^2</math>; <math>a=1\,\mathrm{m}</math>.
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última version al 20:47 7 may 2014

1 Energía interna, calor y trabajo en proceso cíclico

Una cierta cantidad de gas monoatómico ideal contenida en un recipiente hermético realiza el proceso cíclico representado en el diagrama P − V de la figura y que se describe a continuación:

En el estado inicial de equilibrio “A” ocupa un volumen V₀, a una presión P₀, en equilibrio térmico con un entorno que se encuentra a una temperatura T₀. En primer lugar, el sistema experimenta una compresión isoterma “1”, por el cuál el gas reduce su volumen a la mitad del valor inicial, pero manteniendo constante la temperatura T₀. Una vez alcanzado el estado “B”, el sistema verifica una expansión isóbara “2” (a presión constante) hasta el estado “C”, para recuperar el volumen V₀ del estado inicial. Finalmente, en un último proceso isócoro “3” (a volumen constante), se reduce la presión del sistema hasta el valor inicial P₀, alcanzando de nuevo el estado “A”. El proceso cíclico se realiza de manera que pueda considerarse que el gas se encuentra, en todo momento, en equilibrio termodinámico.

1. De manera razonada y sin necesidad de realizar cálculos, qué puede decir acerca de las variaciones de energía interna en cada uno de los tres procesos parciales que constituyen el proceso cíclico descrito.
2. Determine los valores de presión, volumen y temperatura del sistema en los estados “B” y “C”, en función de los valores iniciales.
3. Para cada uno de los procesos parciales, indique de manera razonada el “sentido” en que se verifican las transferencias de calor y trabajo. Indique, asimismo, cómo es la transferencia neta de calor y trabajo en el proceso completo.
4. Calcule el rendimiento del ciclo, definido como la relación entre el trabajo neto (en valor absoluto) transferido en el proceso cíclico, y la cantidad de calor absorbido Q_in (es decir, sólo el que entra en el sistema).

2 Sistema electrostático formado por cuatro discos conductores

Un sistema de conductores está formado por cuatro discos metálicos idénticos, de sección S, colocados con sus respectivas superficies en planos paralelos y con sus centros en el mismo eje perpendicular a los discos. Las superficies enfrentadas de los dos discos centrales, “2” y “3”, están separadas una distancia d / 2, mientras que sus otras superficies se mantienen a una distancia d de las de los discos “1” y “4”, colocados en los extremos del sistema. El valor de d es lo suficientemente pequeño frente al diámetro y grosor de los discos como para poder considerar que cada par de superficies conductoras enfrentadas se encuentran en influencia total, formando así un condensador plano paralelo relleno de aire.

1. Obtenga las expresiones para la carga eléctrica total en cada uno de los discos en función de los parámetros geométricos y de los valores del potencial electrostático en los discos.
2. Los discos “1” y “3” se conectan mediante un cable conductor ideal, formando el conductor “A”, e igualmente se hace con “2” y “4” para forma el “B”. Justifique por qué los conductores surgidos de estas asociaciones forman un condensador y calcule su capacidad eléctrica equivalente.
3. Considere el caso concreto en que el radio de los discos es de y la distancia . Sabiendo que la ruptura dieléctrica del aire se produce para una intensidad de campo eléctrico , determine la diferencia de potencial máxima, V_max, que puede establecerse entre los conductores “A” y “B”. Calcule también la energía máxima que puede almacenarse en el sistema. ¿Entre qué conductores se produce la ruptura cuando se supera el valor V_max?
4. Si entre los conductores “2” y “3” se introduce una lámina de porcelana, de constante dieléctrica κ = 7 y campo de ruptura , ¿cuál será el valor de V_max y entre qué conductores se producirá la ruptura si se supera dicho valor? ¿Cuánto vale ahora la capacidad eléctrica del sistema?

3 Inducción en barra y escuadra conductoras

Dos conductores rectilíneos filiformes de resistencia despreciable, están contenidos en el plano OXY, conectados en ángulo recto en el punto O, y de manera que el eje OX coincide con la bisectriz del ángulo recto que forman los hilos conductores. Un barra de aluminio, de sección S y longitud a, se mueve manteniéndose siempre perpendicular al eje OX, y en contacto con los conductores filiformes. El movimiento de la barra es tal que partiendo del punto O, su centro C se desplaza con velocidad constante v₀ en el sentido positivo del eje. Todo el sistema está sometido a un campo magnético uniforme y constante, .

1. Obtenga la expresión que describe cómo varía en el tiempo el flujo magnético a través de la espira formada por los conductores filiformes y la barra (considérese despreciable la autoinducción de la espira). Obtenga también la fuerza electromotriz inducida en dicho circuito.
2. Determine la expresión de la intensidad de corriente eléctrica inducida, indicando el sentido en que recorre la espira. Asimismo, obtenga las expresiones de la potencia disipada por efecto Joule en la barra, y del calor total generado desde que ésta empieza a moverse hasta que pierde el contacto con los conductores filiformes.
3. Obtenga la fuerza magnética (magnitud vectorial) que actúa sobre la corriente en la barra móvil, en función de su posición.
4. Sabiendo que la conductividad del aluminio es , calcule el valor de la intensidad de corriente, el calor generado por efecto Joule en la barra y el valor máximo de la fuerza magnética que actúa sobre ella, para el caso: ; ; ; .