Imán esférico
De Laplace
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==Potencial vector== | ==Potencial vector== | ||
| + | La expresión integral de <math>\mathbf{A}</math> en términos de la magnetización es una generalización del potencial vector de un dipolo puntual, | ||
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| + | <center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{M}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'</math></center> | ||
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| + | con la integral extendida a todo el espacio. | ||
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| + | En nuestro caso, en que la magnetización es uniforme en la esfera y nula en el exterior, podemos extraer <math>\mathbf{M}</math> de la integral y escribir | ||
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| + | <center><math>\mathbf{A}=\mu_0\mathbf{M}_0\times\left(\frac{1}{4\pi} \int_{r<R}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'\right)</math></center> | ||
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| + | donde la integral se realiza únicamente en la esfera. Recordando, como en el problema de la [[esfera polarizada uniformemente]], la integral que define el campo eléctrico creado por una distribución de carga | ||
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| + | <center><math>\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'</math></center> | ||
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| + | Vemos que la integral en cuestión es formalmente equivalente a la que da el campo eléctrico creado por una distribución | ||
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| + | <center><math>\rho(\mathbf{r})=\begin{cases}\varepsilon_0 & r<R \\ 0 & si r>R\end{cases}</math></center> | ||
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| + | (esto no quiere decir que la integral ''sea'' un campo eléctrico, sólo que su ''forma'' es la misma). El campo que crearía esta distribución es [[Campo debido a una esfera cargada uniformemente|conocido]] y vale | ||
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| + | <center><math>\frac{1}{4\pi}\int\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'= \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{3}\mathbf{r} & r<R \\ & \\ \displaystyle\frac{1}{3}\,\displaystyle\frac{R^3}{r^3}\mathbf{r} & r>R$\end{cases}</math></center> | ||
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| + | y, por tanto, | ||
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| + | <center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{3}\mathbf{M}\times\mathbf{r}</math></center> | ||
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| + | en el interior de la esfera y | ||
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| + | <center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{m}=\frac{4\pi}{3}R^3\mathbf{M}_0</math></center> | ||
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| + | Una vez conocido el potencial vector, el cálculo del campo es inmediato. En particular, para el interior de la esfera resulta | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}= \frac{\mu_0}{3}\nabla\times(\mathbf{M}_0\times\mathbf{r})= \frac{2}{3}\mu_0\mathbf{M}_0</math></center> | ||
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| + | esto es, un campo uniforme en el mismo sentido que la magnetización. | ||
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| + | En el exterior tenemos el potencial vector de un dipolo, correspondiente a que todo la magnetización estuviera concentrada en el centro de la esfera. El campo magnético correspondiente será asimismo uno dipolar | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0(3(\mathbf{m}{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m})}{4\pi r^5} = | ||
| + | \frac{\mu_0 R^3(3(\mathbf{M}_0{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{M}_0)}{3r^5}</math></center> | ||
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| + | El campo magnético <math>\mathbf{H}</math>, en el interior de la esfera, lo podemos obtener de la magnetización y del campo magnético <math>\mathbf{B}</math> | ||
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| + | <math>\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M} = -\frac{\mathbf{M}_0}{3}</math> | ||
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| + | Resulta un valor uniforme, pero opuesto a la magnetización. | ||
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| + | En el exterior, donde la magnetización es nula, el campo <math>\mathbf{H}</math> es proporcional al campo magnético <math>\mathbf{B}</math>, | ||
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| + | <center><math>\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} = \frac{3(\mathbf{m}{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{4\pi r^5} = | ||
| + | \frac{R^3(3(\mathbf{M}_0{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{M}_0)}{3r^5}</math></center> | ||
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==Forma de los campos== | ==Forma de los campos== | ||
==Corrientes de magnetización== | ==Corrientes de magnetización== | ||
==Cargas magnéticas== | ==Cargas magnéticas== | ||
[[Categoría:Problemas de materiales magnéticos]] | [[Categoría:Problemas de materiales magnéticos]] | ||
Revisión de 13:26 30 mar 2009
Contenido |
1 Enunciado
Se dispone de una esfera de radio R con una imanación permanente 
.
- Determine la expresión integral del potencial vector magnético. Calcule el valor de la integral. Hállese, a partir de
, el valor de 
y de 
en todos los puntos del espacio.
- Describa cualitativamente la forma de , y
- Calcule las corrientes de magnetización equivalentes, las ecuaciones y las condiciones de contorno para .
- Halle la distribución de cargas magnéticas equivalentes y el problema de ecuaciones y condiciones de contorno para .
2 Potencial vector
La expresión integral de en términos de la magnetización es una generalización del potencial vector de un dipolo puntual,
con la integral extendida a todo el espacio.
En nuestro caso, en que la magnetización es uniforme en la esfera y nula en el exterior, podemos extraer de la integral y escribir
donde la integral se realiza únicamente en la esfera. Recordando, como en el problema de la esfera polarizada uniformemente, la integral que define el campo eléctrico creado por una distribución de carga
Vemos que la integral en cuestión es formalmente equivalente a la que da el campo eléctrico creado por una distribución
(esto no quiere decir que la integral sea un campo eléctrico, sólo que su forma es la misma). El campo que crearía esta distribución es conocido y vale
y, por tanto,
en el interior de la esfera y
Una vez conocido el potencial vector, el cálculo del campo es inmediato. En particular, para el interior de la esfera resulta
esto es, un campo uniforme en el mismo sentido que la magnetización.
En el exterior tenemos el potencial vector de un dipolo, correspondiente a que todo la magnetización estuviera concentrada en el centro de la esfera. El campo magnético correspondiente será asimismo uno dipolar
El campo magnético , en el interior de la esfera, lo podemos obtener de la magnetización y del campo magnético
Resulta un valor uniforme, pero opuesto a la magnetización.
En el exterior, donde la magnetización es nula, el campo es proporcional al campo magnético ,
