Sistemas de partículas (CMR)

De Laplace

1 Definición de sistema de partículas

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de $N$ partículas que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.

El número de partículas que forman un sistema puede ser muy variado e ir desde 2 (por ejemplo, al estudiar un átomo de hidrógeno), hasta cantidades gigantescas (por ejemplo, en 1 l de agua hay del orden de 10²⁴ partículas).

Cuando el número de partículas es reducido se puede abordar el problema dinámico analizando cada una por separado. Cuando es elevado, es preciso recurrir a promedios y descripciones colectivas (como la mecánica estadística, la elasticidad o la mecánica de fluidos).

Los sistemas se clasifican en abiertos o cerrados. Un sistema cerrado es aquél en el que no entra ni salen partículas del sistema. Por tanto, su masa permanece constante. Un sistema abierto es aquel que permite el paso de partículas (y por tanto masa) a través de los límites del sistema. Aquí consideraremos solo sistemas cerrados.

Entre las fuerzas internas en un sistema estarían por ejemplo, las fuerzas eléctricas de atracción entre las cargas de un sistema de protones y electrones, o la atracción gravitatoria entre las estrellas de una galaxia. Entre las fuerzas externas figura, por ejemplo, el peso de un sistema de partículas, originado por la atracción de un cuerpo externo como la Tierra.

Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, $m i$ , siendo $i=1,\ldots,N$ un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula $i$ está caracterizada por una posición $\vec{r}_i$ y una velocidad $\vec{v}_i$ . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acuerdo con las leyes de la dinámica

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_i$ $\frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{m_i}\vec{F}_i$ $i=1,\ldots,N\,$

siendo $\vec{F}_i$ la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula $i$ . Esta resultante se compone de las fuerzas internas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre $i$ , más la resultante de las fuerzas externas (causadas por un agente externo al sistema) aplicadas sobre ella

$\vec{F}_i = \vec{F}_{i\mathrm{ext}}+ \vec{F}_{1\to i}+\vec{F}_{2\to i} + \cdots=\vec{F}_\mathrm{ext}+\sum_{k\neq i} \vec{F}_{k\to i}$

Suponemos que las interacciones entre las partículas obedecen la 3ª ley de Newton

$\vec{F}_{k\to i} = -\vec{F}_{i\to k}$

o, lo que es lo mismo

$\vec{F}_{k\to i} +\vec{F}_{i\to k} = \vec{0}$

En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula $k$ ejerce sobre la $i$ (y por tanto la que la $i$ ejerce sobre la $k$ ) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector $\vec{F}_{k\to i}$ es paralelo a la posición relativa $\vec{r}_i-\vec{r}_k$ , esto es, si

$(\vec{r}_{i}-\vec{r}_k)\times\vec{F}_{k\to i} = \vec{0}$

Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición

$\vec{r}_i\times\vec{F}_{k\to i} + \vec{r}_k \times \vec{F}_{i\to k} = \vec{0}$

El estudio de la evolución de las partículas que coimponen un sistema puede ser extraordinariamente complejo cuando hay más de 2 e imposible cuando hay millones, como en un fluido. Por ello, se consideran propiedades colectivas y se analiza su evolución y los casos en que son constantes.

2 Grados de libertad de un sistema

Si tenemos un sistema de N partículas y ninguna de ellas está vinuclada, el número de grados de libertad será de 3 por cada partícula, es decir, el total será 3N (que puede ser un número gigantesco, pensemos en un gas o un líquido). Si ahora se aplican r vínculos independientes, el número de grados de libertad se reduce en la misma cantidad, es decir,

$\mathrm{GDL}=3N-r\,$

En un sistema de partículas surge una clasificación adicional de los vínculos:

Vínculos internos: relacionan las coordenadas y velocidades de las partículas entre sí. Típicamente ocurre con la condición de que dos partículas se encuentren siempre a una distancia prefijada (condición de rigidez) o con las articulaciones y contactos entre diferntes partes de un mecanismo.
Vínculos externos: Ligan las coordenadas y velocidades con superficies u otros agentes externos.

Así, por ejemplo, supongamos un sistema de 3 partículas situadas rígidamente en los extremos de un triángulo obligado a moverse en un plano horizontal. En este caso tenemos

3 vínculos externos ya que cada una de las partículas se ve obligada a moverse sobre dicho plano

$z_1=0\qquad z_2=0\qquad z_3=0\,$

3 vínculos internos, ya que la distancia entre cada dos partículas está fijada

$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=a^2\qquad (x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2=b^2\qquad (x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2=c^2$

Esto deja el sistema con

$\mathrm{GDL}=3\times 3-3-3 = 3\,$

Como coordenadas generalizadas para decribir este sistema podemos usar las dos coordenadas de una partícula y un ángulo que nos de la orientación del triángulo.

La clasificación entre vínculos internos y externos también tiene su consecuencia en las fuerzas de reacción vincular.

Los vínculos internos implican la aparición de dos fuerzas (una sobre cada partícula) que al ser internas cumplirán la tercera ley de Newton.

Los vínculos externos llevan asociadas fuerzas externas sobre las partículas en que se imponen.

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