Masa, centro de masas y cantidad de movimiento (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Masa total
- 1.1 Densidad de masa
2 Centro de masas (CM)
3 Cantidad de movimiento
4 Evolución de la cantidad de movimiento
5 Conservación de la cantidad de movimiento
6 Sistema de referencia del centro de masas
7 Sistema de referencia móvil

1 Masa total

La masa total del sistema es la suma de las masas de los partículas que lo componen

$M = m_1 + m_2 + \cdots=\sum_i m_i$

Si el sistema se compone de varias partes, la masa será la suma de las de las partes que lo componen

$M=\sum_k M_k\qquad\qquad M_k =\sum_{m_i\in M_k} m_i$

1.1 Densidad de masa

1.1.1 Volumétrica

Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar se divide el sistema en elementos de volumen, $Δ V$ , que son regiones del espacio lo suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes.

Se define entonces la densidad de masa, $\rho(\vec{r})$ , de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento

$\rho = \frac{1}{\Delta{}V} \sum_{m_i\in\Delta{}V} m_i$

Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento

$\Delta m = \sum_{m_i\in\Delta{}V} m_i = \rho\,\Delta{}V$

La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos

$M = \sum_{\forall\ \Delta m} \Delta m = \sum_{\forall\ \Delta{}V} \rho\,\mathrm{\Delta{}V}$

Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral

$\mathrm{d}M=\rho\,\mathrm{d}V\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}M = \int_V \rho\,\mathrm{d}{}V$

Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro.

Un material homogéneo es aquel en que sus propiedades son iguales en todos sus puntos. Para este tipo de materiales

$\rho\neq\rho(\vec{r})\qquad \Rightarrow\qquad \rho=\frac{M}{V}\qquad\qquad M=\rho\,V$

A menudo, un sistema compuesto está formado por varias partes cada una de las cuales es homogénea. En ese caso

M = \sum ρ k V k k

En ese caso podemos definir una densidad media como

$ρ_m=\frac{M}{V}=\dfrac{\sum_k \rho_k V_k}{\sum_k V_k}$

1.1.2 Superficial

Aunque en principio todas las masas ocupan un volumen en el espacio hay ocasiones (una chapa metálica, una hoja de papel,…) en las que se consentran en una superficie de pequeño espesor. En ese caso, se define la densidad superficial de masas

$\sigma=\frac{1}{\Delta S}\sum_{m_i\in\Delta S}m_i$

Esta densidad de masa se mide en kg/m² en el SI.

La densidad superficial de masa, como la volumétrica, es una función de la posición, por lo que la masa total será la suma de las de todos los trozos en que se divide la superficie

$\mathrm{d}M=\sigma\,\mathrm{d}S\qquad\Rightarrow\qquad M=\int_M\mathrm{d}M=\int_S\sigma\,\mathrm{d}S$

En un superficie de un material homogéneo (y que además tenga el mismo espesor en todos sus puntos)

$\sigma\neq\sigma(\vec{r})\qquad \Rightarrow\qquad \sigma=\frac{M}{S}\qquad\qquad M=\sigma\,S$

1.1.3 Lineal

De la misma manera, para hilos y cables, es útil definir la densidad lineal de masa, que se mide en kg/m,

$\mu=\frac{1}{\Delta l}\sum_{m_i\in\Delta l}m_i$

de manera que la masa total de un hilo es

$\mathrm{d}M=\mu\,\mathrm{d}l\qquad\Rightarrow\qquad M=\int_M\mathrm{d}M=\int_L\mu\,\mathrm{d}l$

Para un hilo homogéneo

$\mu\neq\mu(\vec{r})\qquad \Rightarrow\qquad \mu=\frac{M}{L}\qquad\qquad M=\mu\,L$

2 Centro de masas (CM)

2.1 Definición

El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen

$\vec{r}_G = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{m_1+m_2+\cdots} = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{M}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec{r}_i$

o, usando la notación de posiciones relativas

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \overrightarrow{OP}_i$

Equivalentemente se cumple

$M\vec{r}_G = \sum_im_i\vec{r}_i$

En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen

$\vec{r}_G = \frac{1}{M}\int_M \vec{r}\,\mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int_V \vec{r}\,\rho\,\mathrm{d}{}V$

El centro de masas siempre ocupará una posición intermedia entre las posiciones de las diferentes partículas del sistema. Así, en un triángulo formado por masas iguales, el centro de masas es el llamado baricentro,que se encuentra siempre en el interior.

No obstante, hay que destacar que el centro de masas de un sistema de partículas no tiene por qué coincidir con ninguna de las partículas que lo componen.

De hecho, en el caso de un sistema sólido, es perfectamente posible que el centro de masas esté fuera del sólido. Por ejemplo, en un salto de altura estilo Fosbury, el atleta pasa por encima del listón, pero su centro de masas pasa por debajo de él (consiguiendo el deportista arrancar así unos cuantos centímetros más en el salto).

2.1.1 Ejemplo. Sistema de dos esferas

2.2 Velocidad del centro de masas

El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo

$\vec{v}_G = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_G}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\vec{v}_i$

2.3 Aceleración del centro de masas

Derivando de nuevo respecto al tiempo, hallamos la aceleración con la que se mueve el centro de masas.

$\vec{a}_G = \frac{\mathrm{d}\vec{v}_G}{\mathrm{d}t} = = \frac{1}{M}\sum_im_i\frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\vec{a}_i$

3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

$\vec{p} = \vec{p}_1+\vec{p}_2+\cdots = m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 + \cdots$

La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

$M\vec{r}_G = m_1 \vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2+\cdots$

obtenemos

$M \frac{\mathrm{d}\vec{r}_G}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\vec{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\vec{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+\cdots = \vec{p}$

esto es

$\vec{p} = M \vec{v}_G$

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

$\vec{p}^{\,,} = M\vec{v}^{\,,}_G = \vec{0}$

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas.

4 Evolución de la cantidad de movimiento

Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\vec{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\vec{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \vec{F}_1+\vec{F}_2 + \cdots$

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

$\vec{F}_i = \vec{F}_{i\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to i}+\vec{F}_{2\to i}+\cdots$

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\to 1}+\vec{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{3\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 3}+\vec{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots$

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

$\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{2\to 1} = \vec{0}$

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}= \vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \vec{F}_{\mathrm{ext}}$

siendo $\vec{F}_\mathrm{ext}$ la resultante de las fuerzas externas aplicadas, esto es

la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(M\vec{v}_C\right) =\vec{F}_{\mathrm{ext}}$

es decir:

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se encontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

En un sistema cerrado, en el que la masa total permanece constante, la derivada de la masa es cero y obtenemos

$M\vec{a}_C = \vec{F}_\mathrm{ext}$

Como ejemplo tenemos el lanzamiento de un objeto. Aunque las distintas partes del objeto pueden seguir trayectorias complicadas, su CM se mueve como una partícula sometida exclusivamente a la acción del peso, es decir, describe una parábola

5 Conservación de la cantidad de movimiento

Del teorema de la cantidad de movimiento

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}$

se deduce de manera inmediata que:

En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es nula durante un cierto intervalo de tiempo, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante durante dicho intervalo

$\vec{F}_\mathrm{ext}=\vec{0}\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$

En particular:

En un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas la cantidad de movimiento del sistema permanece constante

Asimismo, este teorema implica que

El centro de masas de un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas describe un movimiento rectilíneo y uniforme

Por tratarse de una identidad vectorial, es posible que se conserve alguna de las componentes de la cantidad de movimiento mientras que otras son variables.

En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es perpendicular a un vector fijo $\vec{u}$ durante un cierto intervalo de tiempo, la componente de la cantidad de movimiento del sistema en la dirección de $\vec{u}$ permanece constante durante dicho intervalo

$\vec{F}_\mathrm{ext}\cdot\vec{u}=0\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad p_u=\vec{p}\cdot\vec{u}=\mathrm{cte}$

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

6 Sistema de referencia del centro de masas

Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa

${\vec{r}_i}^{\,,} = \vec{r}_i-\vec{r}_G\qquad\qquad \overrightarrow{GP}_i=\overrightarrow{OP}_i-\overrightarrow{OG}$

Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente nula, se cumple

$\vec{0}=\vec{r}^{\,,}_G \qquad \Rightarrow\qquad \sum_im_i\vec{r}^{\,,}_i=m_1\vec{r}^{\,,}_1+m_2\vec{r}^{\,,}_2 +\cdots = \vec{0}\qquad\qquad \sum_im_i \overrightarrow{GP}_i=\vec{0}$

De manera análoga se define la velocidad relativa al CM

${\vec{v}_i}^{\,,} = \vec{v}_i-\vec{v}_G$

y, del mismo modo que con la posición

$\vec{0}=\vec{v}^{\,,}_G \qquad \Rightarrow\qquad m_1\vec{v}^{\,,}_1 + m_2\vec{v}^{\,,}_2 +\cdots = \vec{0}$

ya que el centro de masas no se mueve respecto a sí mismo.

7 Sistema de referencia móvil

El caso del sistema CM es uno particular de sistema de referencia móvil. Si consideramos un caso más general de un sistema de referencia que se traslada (sin rotar) con una velocidad $\vec{v}_A$ , la velocidad de las partículas respecto a este sistema es

$\vec{v}^{\,,}_i=\vec{v}_i-\vec{v}_A$

En este sistema, la cantidad de movimiento vale

$\vec{p}^{\,,}=\sum_im_i(\vec{v}_i-\vec{v}_A) =\vec{p}-M\vec{v}_A$

y la derivada de la cantidad de movimiento en este sistema es

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}^{\,,}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}-M\frac{\mathrm{d}\vec{v}_A}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}-M\vec{a}_A$

Si el sistema de referencia móvil es inercial, $\vec{a}_A=\vec{0}$ , y obtenemos el conocido teorema de la cantidad de movimiento. Si el sistema es acelerado, aparece un término de fuerza adicional, que es una fuerza ficticia, conocida como fuerza de inercia. En el caso de que A sea el centro de masas, los dos términos se cancelan mutuamente y queda $\vec{p}^{\,,}$ constante (de hecho, igual a 0, según hemos visto).

Masa, centro de masas y cantidad de movimiento (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Masa total

1.1 Densidad de masa

1.1.1 Volumétrica

1.1.2 Superficial

1.1.3 Lineal

2 Centro de masas (CM)

2.1 Definición

2.1.1 Ejemplo. Sistema de dos esferas

2.2 Velocidad del centro de masas

2.3 Aceleración del centro de masas

3 Cantidad de movimiento

4 Evolución de la cantidad de movimiento

5 Conservación de la cantidad de movimiento

6 Sistema de referencia del centro de masas

7 Sistema de referencia móvil

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