Momento cinético de un sistema de partículas (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Definición
2 Teorema de König. Descomposición del momento angular
3 Evolución del momento cinético
- 3.1 Para un punto fijo O
- 3.2 Para un punto móvil
  - 3.2.1 Momento cinético absoluto
  - 3.2.2 Momento cinético relativo
4 Teorema de conservación del momento cinético
5 El caso del peso

1 Definición

1.1 Momento cinético respecto a un punto fijo

De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas respecto a un punto fijo O (centro de reducción) como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales respecto a dicho punto

$\vec{L}_0=\sum_i m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i=\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{v}_i$

1.2 Cambio del centro de reducción

Si en lugar de un punto fijo O calculamos el momento cinético respecto a otro punto A, la relación entre ambas cantidades es la misma que para una sola partícula

$\vec{L}_A=\vec{L}_O+\vec{p}\times\overrightarrow{OA}=\vec{L}_O+M\overrightarrow{AO}\times\vec{v}_G$

donde ahora $\vec{p}$ es la cantidad de movimiento del sistema completo.

En el caso particular de que O sea la posición instantánea del CM esta ecuación queda

$\vec{L}_A=M\overrightarrow{AG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G$

1.3 Momento cinético respecto a un punto móvil

El punto O de referencia puede tener movimiento propio (un ejemplo típico es el centro de masas). En ese caso, tenemos dos posibles definiciones de momento cinético:

Una en la que el punto O se trata como un punto fijo (diferente en cada instante), en cuyo caso se aplica la fórmula anterior.
Una en la que se considera el movimiento de las partículas respecto al punto O, empleando las velocidades relativas a un sistema de referencia que se traslada con el punto.

El momento cinético relativo a este punto móvil será igual a

$\vec{L}^{\,''}_O=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times \vec{v}^{\,\prime}_i=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times (\vec{v}_i-\vec{v}_O)$

El momento cnético relativo se relaciona con el absoluto como

$\vec{L}_O=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times \vec{v}_i=\sum_im_i \overrightarrow{OP}_i\times (\vec{v}_i-\vec{v}_O)+\left(\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\right)\times\vec{v}_O =\vec{L}^{\,\prime}_O+M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_O$

Como caso particular importante de punto móvil tenemos el centro de masas. Para este punto se cumple que

$\vec{L}_G=\vec{L}^{\,\prime}_G\qquad\qquad (\overrightarrow{GG}=\vec{0})$

es decir, para el centro de masas es indiferente que lo tratemos como punto fijo o como punto móvil.

2 Teorema de König. Descomposición del momento angular

Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como la cantidad de movimiento, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Antes hemos relacionado el momento cinético respecto a un punto fijo con el obtenido respecto al CM pero suponiendo que éste es también un punto fijo. Dado que en realidad se trata de un punto móvil, es adecuado tener en cuenta la velocidad relativa a este punto.

Según acabamos de ver, tanto si tratamos el CM como un punto fijo como si lo consideramos móvil se cumple

$\vec{L}_G=\vec{L}^{\,\prime}_G=\sum_i m_i\overrightarrow{GP}_i\times \vec{v}^{\,\prime}_i$

Aplicando la relación entre el momento calculado respecto a diferentes puntos obtenemos que, para un punto fijo O

$\vec{L}_O= M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G$

y para uno considerado móvil

$\vec{L}^{\,\prime}_O= M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}^{\,\prime}_G+\vec{L}^{\,\prime}_G$

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular intrínseco), que sería $\vec{L}'$ .

Si el sistema está compuesto de varias partes, el momento cinético total será la suma de las distintas partes

$\vec{L}_O=\sum_k M_k \overrightarrow{OG}_k\times\vec{v}_{Gk} +\sum_k \vec{L}_{Gk}$

Para el primer sumando podemos aplicar de nuevo el teorema de König, tratando cada parte como una partícula situada en su respectivo centro de masas. El segundo sumando representa los momentos cinéticos internos de cada parte. Así, en el ejemplo del Sistema Solar, el primer sumatorio correspondería a considerar éste como un sistema de 9 partículas puntuales y el segundo sumatorio incluiría los momentos cinéticos de rotación de los planetas y el Sol.

3 Evolución del momento cinético

3.1 Para un punto fijo O

Derivando en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_{1O}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{L}_{2O}}{\mathrm{d}t} + \cdots$

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_{iO}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\vec{v}_i + m_i\vec{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\vec{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\vec{v}_i\times\vec{v}_i}^{=\vec{0}} + \vec{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \vec{r}_i\times\vec{F}_i$

y, para el momento cinético total

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i$

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\left(\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \vec{r}_2\times\left(\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots$

Las fuerzas newtonianas, que verifican la tercera ley de Newton, no solo cumplen que son iguales y opuestas, sino que además van en la dirección de la recta que une las dos partículas

$\vec{F}_{1\to 2}=-\vec{F}_{2\to 1}\qquad\qquad (\vec{r}_2-\vec{r}_1)\times\vec{F}_{1\to 2}=\vec{0}$

Combinando las dos ecuaciones queda

$\vec{0}= -\vec{r}_1\times\vec{F}_{1\to 2}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{1\to 2}= \vec{r}_1\times\vec{F}_{2\to 1}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{1\to 2}$

esto es, los momentos de las fuerzas internas se anulan mutuamente. Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}_1\times\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{r}_2\times\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots$

En palabras:

La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.

3.2 Para un punto móvil

Supongamos que el centro de reducción posee movimiento propio (es decir, en cada instante hallamos el momento respecto a un punto diferente). En ese caso, según hemos visto tenemos dos posibles definiciones de momento cinético, según si usamos las velocidad absolutas, $\vec{L}_O$ o las relativas $\vec{L}^{\,\prime}_O$ . Cada una de estas cantidades obedece una ley de evolución diferente, por lo que hay que ser cuidadoso con ellas.

3.2.1 Momento cinético absoluto

Cuando el propio punto O se mueve, la derivada de la posición relativa es la velocidad relativa

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_P-\vec{v}_O$

por ello, a la hora de derivar obtenemos

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\sum_i m_i \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}_i}{\mathrm{d}t}\times\vec{v}_i+\sum_i m_i\overrightarrow{OP}_i\times \vec{a}_i= \vec{M}_O-M\vec{v}_O\times\vec{v}_G$

En este caso, la derivada del momento cinético coincide con el momento resultante en los casos:

Que $\vec{v}_O$ sea nulo, es decir que realmente se trate de un punto fijo (pero fijo, fijo; no vale que esté en un movimiento rectilíneo y uniforme).
Que $\vec{v}_G$ sea nulo, es decir, que el centro de masas esté inmóvil.
Que $\vec{v}_G$ sea paralelo a $\vec{v}_O$ . Esto incluye el caso particular importante en que G = O, ya que entonces las dos velocidades son iguales, es decir,

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}= \vec{M}_G$

3.2.2 Momento cinético relativo

Si consideramos el momento calculado con las velocidades relativas

$\vec{L}^{\,\prime}_O=\sum_i m_i\overrightarrow{OP}_i\times(\vec{v}_i-\vec{v}_O)$

su derivada respecto al tiempo vale

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}^{\,\prime}_O}{\mathrm{d}t}=\sum_i m_i \overbrace{\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}_i}{\mathrm{d}t}}^{=(\vec{v}_i-\vec{v}_O)}\times(\vec{v}_i-\vec{v}_O)+\sum_i m_i\overrightarrow{OP}_i\times (\vec{a}_i-\vec{a}_O)= \vec{M}_O-\overrightarrow{OG}\times(M\vec{a}_O)$

Vemos que, como ocurre con la cantidad de movimiento, el resultado es equivalente a que a la hora de hallar los momentos de las fuerzas externas debemos incluir una fuerza ficticia de inercia aplicada en el centro de masas.

En este caso, la derivada del momento cinético coincide con el momento resultante en los casos:

Que $\vec{a}_O$ sea nulo, es decir que O esté en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme.
Que G = O, ya que entonces la posición relativa es nula, es deicr, también se cumple

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}^{\,\prime}_G}{\mathrm{d}t}= \vec{M}_G$

4 Teorema de conservación del momento cinético

Del teorema del momento cinético se deduce de manera inmediata que:

Si el momento resultante de las fuerzas externas aplicadas respecto a un punto fijo O es nulo durante un cierto intervalo de tiempo, el momento cinético respecto a dicho punto es constante.

En particular:

En un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas newtonianas, el momento cinético respecto a cualquier punto fijo es constante.

Los mismos resultados se tienen si en lugar de un punto fijo tomamos como centro de reducción el centro de masas G.

Para puntos móviles que no sean el CM habrá que analizar además si se cumplen las condiciones para que el segundo término de la igualdad se anule.

5 El caso del peso

Por su frecuencia en sistemas reales, es conveniente considerar el caso de que una de las fuerzas externas aplicadas al sistema se trate del peso de cada partícula. En ese caso tenemos

$\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OP}_i\times (m_i\vec{g})=\left(\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\right)\times\vec{g}=\overrightarrow{OG}\times(M\vec{g})$

Por tanto, desde el punto de vista del momento de las fuerzas, el sistema de pesos equivale al peso de una sola partícula situada en el centro de masas.

Esto implica que, en ausencia de otras fuerzas externas, el momento cinético respecto al CM de un sistema de partículas permanece constante. Para un centro de reducción fijo se conserva la componente del momento cinético en la dirección de la gravedad.

Momento cinético de un sistema de partículas (CMR)

De Laplace

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1 Definición

1.1 Momento cinético respecto a un punto fijo

1.2 Cambio del centro de reducción

1.3 Momento cinético respecto a un punto móvil

2 Teorema de König. Descomposición del momento angular

3 Evolución del momento cinético

3.1 Para un punto fijo O

3.2 Para un punto móvil

3.2.1 Momento cinético absoluto

3.2.2 Momento cinético relativo

4 Teorema de conservación del momento cinético

5 El caso del peso

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