Segunda Convocatoria Ordinaria 2017/18 (G.I.C.)

De Laplace

1 Dos partículas unidas por una barra

Las partículas A y B, ambas con masa m, están unidas por una barra rígida de longitud 2L y masa despreciable. El punto C es el punto medio de la barra. La partícula A está obligada a moverse en el eje fijo OX, como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo θ(t) con el eje OX. La partícula A se mueve con velocidad constante . En el instante inicial la partícula A se encontraba en el punto O y θ(0) = 0. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

1. Encuentra la expresión de los vectores de posición , y en función de v₀, L, θ y t.
2. Si el ángulo varía como , calcula la velocidad y aceleración de las partículas A y B y del centro de masas del sistema.
3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal aplicada sobre la partícula A. Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de O en el instante t₁ = πL / 2v₀.
5. Supongamos ahora que la partícula B se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el OX es constante e igual a 2v₀. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir θ(t) para que esto sea posible.

2 Barra articulada en pared con muelle

Una barra homogénea de masa m y longitud 2L está apoyada en el suelo en un extremo (punto A). El otro extremo (B) está articulado en un eje vertical de modo que la barra puede rotar alrededor de B y el punto B puede deslizar sobre el eje. Un muelle de constante elástica k y longitud natural L conecta el punto B con el origen de coordenadas O. El muelle se mantiene vertical en todo momento. El contacto de la barra en B es liso, mientras que es rugoso en A con coeficiente estático de rozamiento μ.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra, indicando para que fuerzas el sentido es conocido a priori y para cuales no. Razona la respuesta.
2. Escribe las expresiones de las fuerzas que actúan sobre la barra.
3. Suponiendo que β = π / 6, calcula el valor de las fuerzas que actúan sobre la barra en situación de equilibrio estático.
4. Calcula la reducción vincular en el punto G usando las fuerzas obtenidas en el apartado anterior.
5. ¿Qué condición debe cumplir μ para que la situación de equilibrio sea posible?