De Laplace

1 Problemas del boletín

1.1 Aro centrado en el origen

Tenemos un aro homogéneo de masa M y radio R con centro O. Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.

1. Calcula la matriz de inercia en O, usando los ejes indicados en la figura.
2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por O y forma un ángulo de π / 3 con el eje OX₃.
3. El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación paralelo al eje. Calcula el momento cinético en O y la energía cinética del aro.

1.2 Barra articulada rotando en un plano

Se tiene una barra homogénea de longitud L, masa M y radio despreciable. La barra tiene un extremo fijo en el punto O y gira únicamente en el plano OX₁Y₁. La posición de la barra viene determinada por el ángulo θ que forma con el eje OY₁.

1. Encuentra la expresión del momento cinético de la barra y de su energía cinética T.
2. Aplica el T.M.C. en O para obtener una ecuación diferencial del movimiento.
3. Obtén una integral primera del movimiento. ¿Es equivalente a la ecuación anterior?

1.3 Barra articulada rotando en el espacio

Una barra homogénea de longitud L, masa M y radio despreciable está articulada en O, moviéndose en el espacio tridimensional OX₁Y₁Z₁ con su posición descrita mediante las coordenadas {ψ,θ}, ángulos de precesión y nutación, respectivamente. Escogemos unos ejes OX₂Y₂Z₂ solidarios con la barra como se indica en la figura, y unos ejes auxiliares intermedios OX₀Y₀Z₀.

1. Encuentra la expresión del momento cinético de la barra.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética T de la barra.