Aro centrado en el origen (MR G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Tenemos un aro homogéneo de masa $M$ y radio $R$ con centro $O$ . Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.

Calcula la matriz de inercia en $O$ , usando los ejes indicados en la figura.
Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por $O$ y forma un ángulo de $π / 3$ con el eje $O X 3$ .
El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación $\vec{\omega}$ paralelo al eje. Calcula el momento cinético en $O$ y la energía cinética del aro.

2 Solución

2.1 Tensor de inercia

La forma general del tensor de inercia en un punto es

$\overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} I_{11} & -P_{12} & -P_{13}\\ -P_{12} & I_{22} & -P_{23}\\ -P_{13} & -P_{23} & I_{33} \end{array} \right]$

Ya hemos usado que el tensor es simétrico. Vamos a calcular primero los elementos no diagonales.

Tenemos

$P_{13} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_3=0$

Esta integral se anula porque para todos los puntos del aro se cumple $x 3 = 0$ . Por la misma razón tenemos

$P_{23} = \int\mathrm{d}m\,x_2x_3=0$

Para el otro producto de inercia

$P_{12} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_2 = \int\mathrm{d}m (R\cos\theta)(R\,\mathrm{sen}\,\theta)$

Tenemos

$\mathrm{d}m = \dfrac{M}{2\pi R}\,R\mathrm{d}\theta$

por lo que

$P_{12} = \int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \dfrac{MR}{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{MR}{4\pi} \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \,\mathrm{sen}\,(2\theta) =0$

Los tres productos de inercia son cero. Este resultado se puede obtener sin hacer cuentas con argumentos de simetría. Al ser el aro un sólido plano, el eje $X 3$ es principal de inercia, pues es perpendicular al plano del sólido. Y como el aro tiene simetría de revolución alrededor de $X 3$ , todas las direcciones perpendiculares a $X 3$ que pasen por $O$ son principales de inercia, en particular $X 1$ y $X 2$ . Entonces, el tensor de inercia es diagonal respecto a los tres ejes indicados.

Vamos con los momentos de inercia. Al ser un sistema plano tenemos

$I 33 = I 11 + I 22$

Y por la simetría del aro tenemos

$I_{11} = I_{22}\Longrightarrow I_{11} = I_{22} = \dfrac{1}{2}I_{33}$

Basta entonces con calcular $I 33$ .

$I_{33} ) \int\mathrm{d}m\,(x_1^2+x_2^2) = \int\mathrm{d}m R^2= R^2\int\mathrm{d} m = MR^2$

Todos los puntos están a la misma distancia del eje $X 3$ , el radio del aro $R$ . Y la integral que queda es la masa total del aro.

Entonces el tensor de inercia en $O$ es

$\overleftrightarrow{I_O} = I \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]$

con

$I = \dfrac{1}{2}M R^2$

2.2 Momento de inercia respecto a un eje

Conocido el tensor de inercia, el momento de inercia respecto a un eje $Δ$ que pase por el punto es

$I_{\Delta} = \vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}$

donde $\vec{n}$ es un vector unitario en la dirección del eje $Δ$ .

Por simetría, podemos considerar que el eje $Δ$ está en el plano $X 2 X 3$ . El resultado no debe cambiar si giramos el eje alrededor de $X 3$ . Entonces el vector $\vec{n}$ es

$\vec{n} = [0, \mathrm{sen}\,(\pi/3), \cos(\pi/3)] = [0, \sqrt{3}/2, 1/2]$

El momento de inercia pedido es

$I_{\Delta} = I[0, \sqrt{3}/2, 1/2] \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{array} \right] = I[0, \sqrt{3}/2, 1/2] \left[ \begin{array}{c} 0\\ \sqrt{3}/2 \\ 1 \end{array} \right]= I\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{4}I= \dfrac{5}{8}MR^2$

2.3 Momento cinético en la rotación

El vector rotación puede escribirse $\vec{\omega}=\omega\vec{n}$ siendo $\vec{n}$ el vector unitario paralelo al eje del apartado anterior. Al se $O$ un punto fijo, el momento cinético es

$\vec{L}_O = \overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega} = I \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ \sqrt{3}\omega/2 \\ \omega/2 \end{array} \right] = I\omega \left[ \begin{array}{c} 0\\ \sqrt{3}/2 \\ 1 \end{array} \right]$

Podemos ver que el momento cinético $\vec{L}_O$ y el vector rotación no son paralelos. El ángulo que forman es

$\cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|} = \dfrac{5}{2\sqrt{7}}$

Por tanto el eje no es dirección principal de inercia

La energía cinética es, al ser $O$ un punto fijo

$T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega} = \dfrac{\omega^2}{2}\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n} = \dfrac{1}{2}I_{\Delta}\omega^2 = \dfrac{5}{16}MR^2\omega^2$

Aro centrado en el origen (MR G.I.C.)

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2 Solución

2.1 Tensor de inercia

2.2 Momento de inercia respecto a un eje

2.3 Momento cinético en la rotación

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