Potencial vector magnético
De Laplace
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1 Definición
De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético
![\nabla\cdot\mathbf{A}](/wiki/images/math/2/1/7/217fb3bb663b352e20ebaca89600f949.png)
![\Rightarrow](/wiki/images/math/d/f/0/df09aea884019cb88a2957126faba316.png)
![\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}](/wiki/images/math/1/d/0/1d0a0dfa0bab75d4724a7b5bf94f1a3b.png)
2 Expresión integral
Al demostrar la ley de Gauss para el campo magnético ya se da una expresión para este potencial vector
![\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'](/wiki/images/math/a/7/e/a7e5ab5ab8dbc14a98d78d06b416cfb9.png)
con expresiones correspondientes para corrientes lineales o de superficie
![\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}](/wiki/images/math/9/7/3/9737007326c55d0e1ed2f508129cb2ac.png)
![\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{K}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}S'](/wiki/images/math/c/7/2/c722a0f74c583504062f35860fecd6f1.png)
Estas expresiones pueden superponerse, para una distribución compuesta de varios tipos individuales. Sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible.
3 Falta de unicidad
Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria
![\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2+\nabla\psi](/wiki/images/math/0/e/1/0e1e78e72e5763ac06553d7c19137b8a.png)
siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de ψ hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.
4 Aplicaciones
La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de .
Sirve como herramienta en los casos en que tenemos corrientes fluyendo siempre según la misma componente. Por ejemplo, si podemos suponer
. Si
podemos suponer
. En estos casos el cálculo del potencial vector se reduce a determinar una sola componente, de forma similar a como se hace con el potencial escalar del campo electrostático.
La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el desarrollo multipolar magnético.
El potencial vector es útil a la hora de calcular flujos magnéticos, ya que
![\Phi_m = \int_S \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_\Gamma \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}](/wiki/images/math/d/c/a/dca24df5332d279265405767c49486e3.png)
siendo S una superficie apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha.
5 El potencial vector y el campo eléctrico
El potencial vector magnético no solo se relaciona con el campo . También existe una relación con el campo eléctrico, consecuencia de la interrelación entre los campos eléctrico y magnético. En situaciones no estacionarias tenemos que dos de las ecuaciones de Maxwell son
![\nabla\cdot\mathbf{B}=0](/wiki/images/math/5/7/6/57619c6a86c79e56ac806faf21502c90.png)
![\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}](/wiki/images/math/9/c/a/9cab6787646062d6e658cd1e83ad468f.png)
De la primera ya sabemos que se deduce la existencia del potencial vector magnético. Sustituyendo en la segunda (ley de Faraday) queda
![\nabla\times\left(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)=\mathbf{0}](/wiki/images/math/0/c/7/0c75be261933535d08936131b5371012.png)
y de aquí se deduce que
![\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla\phi](/wiki/images/math/e/e/a/eeaecc6988e2421e1d5c2a1f03879cf9.png)
esto es, que en situaciones no estacionarias, el campo eléctrico no deriva de un potencial escalar, sino que también incluye la derivada temporal del potencial vector magnético.
6 Ejemplos
6.1 Solenoide infinito
Para un solenoide cilíndrico de radio a y longitud finita, el campo magnético, obtenido empleando las leyes de la magnetostática, es igual a
![\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}](/wiki/images/math/8/b/4/8b46abb72c318665dd75396577154bad.png)
Un potencial vector del que deriva este campo cumple las ecuaciones
![\nabla\cdot\mathbf{A}=0](/wiki/images/math/3/2/2/322ce981e2dbff490e120122b78ba222.png)
![\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}](/wiki/images/math/3/7/9/3793430b8137d00e8b1af20c5bb58bf8.png)
La primera de las dos ecuaciones es una condición extra que siempre podemos imponer para determinar un potencial vector. La segunda ecuación nos dice que las fuentes vectoriales de son uniformes y en la dirección Z dentro de un cilindro de radio a y nulas en el exterior. Estas ecuaciones son completamente análogas a las que verifica el campo magnético respecto de la densidad de corriente en el caso de un cable grueso. Por ello, la expresión para el potencial vector es la análoga a la del campo magnético en ese sistema;
![\mathbf{A}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0nI\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & (\rho<a) \\ \displaystyle\frac{\mu_0nIa^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & (\rho>a) \end{cases}](/wiki/images/math/2/c/e/2cea2c1a8e216083e613d179522a0771.png)
6.2 Dipolo magnético
Para un dipolo magnético puntual , situado en el origen de coordenadas, el potencial vector es igual a
![\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}](/wiki/images/math/2/d/1/2d114d3cdffcccde972aefe9ba08cf09.png)
Esta expresión es análoga al potencial eléctrico de un dipolo eléctrico
![\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}](/wiki/images/math/a/a/a/aaa4f99603396a5b0f6933f544d02e5f.png)
cambiando el producto escalar por el vectorial.