Campo magnético de corrientes estacionarias

De Laplace

Revisión a fecha de 13:45 21 mar 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Fuerza sobre una carga en movimiento
2 Campo magnético debido a una corriente
3 Fuentes del campo magnético
- 3.1 Ley de Gauss para el campo magnético
- 3.2 Ley de Ampère
4 El potencial vector magnético
5 Desarrollo multipolar magnético. Dipolo magnético
6 Problemas

1 Fuerza sobre una carga en movimiento

Se ve en electrostática que una carga puntual en reposo experimenta una fuerza $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$ . Si esta carga se encuentra en movimiento, debemos añadir una fuerza adicional, proporcional a la velocidad y ortogonal a ella, de acuerdo con la ley de Lorentz

$\mathbf{F} = q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)$

A esta fuerza adicional se la denomina fuerza magnética, y al campo vectorial $\mathbf{B}$ , que da la magnitud de esta fuerza, se lo denomina campo magnético (también conocido como inducción magnética y como densidad de flujo magnético).

El campo magnético se mide en el SI en Teslas (T), siendo 1 T = 1 N/A·m. Un Tesla es una cantidad grande para los valores usuales, por lo que con frecuencia se usa como unidad el Gauss (1 Gauss = 0.0001 T).

La fuerza sobre una carga en movimiento puede extenderse a un conjunto de ellas, que formarán una densidad de corriente. Para el caso de una densidad $\mathbf{J}$ , la fuerza magnética es

$\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \mathbf{J}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau$

y análogamente se tiene la fuerza sobre una distribución de corriente superficial y sobre un conductor filiforme.

$\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \mathbf{K}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}S$ $\mathbf{F}_\mathrm{m}=I\int d\mathbf{r}\times\mathbf{B}$

Si tenemos un conjunto de distribuciones, la resultante será la suma de la fuerza sobre cada una de ellas.

2 Campo magnético debido a una corriente

Artículo completo: Campo magnético debido a una corriente

Los campos magnéticos pueden tener distintas causas. Entre ellas, se encuentran las propias corrientes eléctricas.

El campo magnético creado por una carga puntual en movimiento a velocidades bajas (comparadas con la de la luz) vale aproximadamente

$\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\mathbf{v}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}$

siendo $\mathbf{r}'$ la posición instantánea de la carga. $μ 0$ es una constante denominada permeabilidad del vacío, cuyo valor en el SI es $\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{T}{\cdot}\mathrm{m}/\mathrm{A}$ .

El campo magnético creado por una distribuciónde corriente lineal puede calcularse integrando la expresión anterior. Para el caso de una corriente estacionario la aproximación se convierte en una igualdad y el campo magnético viene dado por la ley de Biot y Savart

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}$

Un caso particular importante es el del hilo rectilíneo infinito que produce un campo

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_{\varphi}$

Este campo gira en torno al hilo, siendo circunferencias sus líneas de campo

También es importante el campo debido a una espira circular, que en los puntos de su eje vale

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0IR^2\mathbf{u}_{z}}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$

Este campo apunta en la dirección del eje de la espira, siendo máximo, con un valor $μ 0 I / 2 R$ en su centro.

De forma análoga al caso de la corriente lineal tenemos el campo creado por una distribución de corriente estacionaria volumétrica y por una superficial

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'$ $\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{K}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}S'$

En estas expresiones las densidades de corriente son funciones de la posición, $\mathbf{J}=\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ , $\mathbf{K}=\mathbf{K}(\mathbf{r}')$ .

3 Fuentes del campo magnético

3.1 Ley de Gauss para el campo magnético

Artículo completo: Ley de Gauss para el campo magnético

A partir de la ley de Biot y Savart pueden determinarse las fuentes escalares y vectoriales de los campos magnéticos creados por corrientes estacionarias. Para las fuentes escalares, tenemos, en forma integral

$\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} =0$

y en forma diferencial, aplicando el teorema de Gauss,

$\nabla{\cdot}\mathbf{B}=0$

En sus dos formas, esta ley expresa la ausencia de fuentes escalares magnéticas, esto es, el campo debido a corrientes eléctricas estacionarias nunca produce el efecto de una carga magnética aislada (monopolo).

Esta ley es aplicable no sólo al caso de corrientes estacionarias, sino que se ha comprobado su validez en cualquier situación, esto es, no se han descubierto monopolos magnéticos.

Asociada a esta ley existe una condición de salto para el campo magnético en una interfaz entre dos regiones

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{B}]=0$

que expresa que la componente normal del campo magnético alcanza el mismo valor en sendos lados de una frontera.

3.2 Ley de Ampère

Artículo completo: Ley de Ampère

Tomando el rotacional en la ley de Biot y Savart se obtiene la ley de Ampère en forma diferencial

$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$

y, por aplicación del teorema de Stokes, en forma integral

$\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \mu_0 I$

que, en palabras, expresa que la circulación del campo magnético de corrientes estacionarias a lo largo de una curva cerrada Γ es igual a la permeabilidad del vacío multiplicada por la corriente total que atraviesa una superficie arbitraria apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha.

Asociada a la ley de Ampère se encuentra la condición de salto

$\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=\mu_0\mathbf{K}$

que nos da la discontinuidad en las componentes tangenciales del campo magnético como función de la densidad de corriente superficial.

La ley de Ampère implica que el campo magnético, a diferencia del electrostático, sí tiene fuentes vectoriales, dadas por las densidades de corriente. Geómetricamente, significa que las líneas de campo magnético tenderán a girar alrededor de las líneas de corriente.

4 El potencial vector magnético

Artículo completo: potencial vector magnético

De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede expresarse como el rotacional de otro campo vectorial, llamado potencial vector magnético