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Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Anilla ensartada en dos varillas

Una pequeña anilla P se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. Los extremos fijos de las barras distan una cantidad \ell y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante Ω de forma que describen los ángulos indicados en la figura:

  1. ¿Cuáles son las ecuaciones horarias de P?
  2. ¿Qué clase de trayectoria describe?
  3. ¿Qué tipo de movimiento realiza?

Solución

2 Movimiento en un tiro parabólico

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

\vec{a}(t)=-g\vec{k}

una posición inicial nula (\vec{r}_0=\vec{0}) y una velocidad inicial que forma un ángulo α con la horizontal y tiene rapidez inicial v0.

  1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Halle el punto donde la partícula impacta con el suelo. ¿Cuál es el alcance máximo para una rapidez inicial dada?
  3. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante inicial y en el instante en que se encuentra a mayor altura.
  4. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los dos instantes anteriores.
  5. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
  6. Suponga que se quiere alcanzar un blanco situado a 60 m con un mortero que comunica una rapidez inicial de 25 m/s. ¿Con qué ángulo debe dispararse si en medio se encuentra un eucalipto de 15 m de altura? (supóngase g\simeq 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)

Solución

3 Tiro parabólico sobre una pendiente

Se desea alcanzar un blanco que se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo β, estando el blanco a una distancia D del punto de disparo.

Archivo:parabola-pendiente.png
  1. ¿Cuál es la rapidez mínima que debe tener el proyectil para llegar al blanco? ¿Con qué ángulo sobre la horizontal debe dispararse en ese caso?
  2. Suponga que el plano tiene una pendiente del 75% y el proyectil se lanza con el ángulo que da el alcance máximo para llegar a D = 100 m. Para este caso, halle:
    1. La rapidez que tiene en el momento del impacto.
    2. La aceleración tangencial y normal (escalares) en el momento de impacto.

Tómese g\simeq 10\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Solución

4 Estudio de un movimiento tridimensional

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

\vec{r}(t)=B\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\jmath}+2B\cos^2(\Omega t)\vec{k}
  1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
  2. Determine la ley horaria s(t). Suponga que s(0) = 0.
  3. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

Solución

5 Velocidad y aceleración en puntos terrestres

La Tierra la podemos modelar como una esfera de 6370 km de radio. Determine la rapidez y la aceleración normal (expresada en unidades de g) para un punto del ecuador terrestre debida al movimiento de rotación terrestre. ¿Cuánto valen la rapidez y aceleración normal en Sevilla (latitud 37°24′40″N)?

Solución

6 Velocidad y aceleración orbital de la Tierra

La órbita terrestre es aproximadamente circular con un radio 1UA = 149.60Gm. ¿Cuánto vale la rapidez y la aceleración normal de la Tierra en su movimiento orbital?

Solución

7 Movimiento circular en 3D

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

\vec{r}(t)=4A\cos(\Omega t)\vec{\imath}+ 5A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}+3A\cos(\Omega t)\vec{k}

con A y Ω constantes.

  1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
  2. ¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
  3. Justifique que este movimiento es circular y uniforme
  4. Determine la posición del centro del movimiento circular
  5. Calcule la velocidad angular de este movimiento circular

Solución

8 Ejemplo de movimiento expresado en polares

Una partícula describe una curva cuya ecuación en coordenadas polares es

\rho = A\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t
  1. Calcule la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración para todo t.
  3. Calcule el radio y el centro de curvatura en todo momento.
  4. ¿De qué tipo de movimiento se trata?

Solución

9 Caso de movimiento circular

Una partícula describe un movimiento circular de radio R, tal que su velocidad angular instantánea cumple

\omega = k\theta\,

con k una constante y θ el ángulo que el vector de posición instantánea forma con el eje OX.

  1. Determine la aceleración angular de la partícula como función del ángulo θ.
  2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal en θ = π / 2 y θ = π.
  3. Determine la ley horaria θ = θ(t).

Solución

10 Ejemplo de movimiento helicoidal

El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como

\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}

siendo

\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}

dos vectores constantes. Si la posición inicial es \vec{r}_0=A\vec{\imath}

  1. Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
  2. Determine las ecuaciones horarias ρ = ρ(t), θ = θ(t) y z = z(t). ¿Cuánto vale el paso de rosca de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
  3. Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
  4. Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.

Solución

11 Espiral logarítmica

Una partícula describe una espiral logarítmica a partir de t = 0 de manera que, en el SI y empleando coordenadas polares,

\rho = 240-48t\qquad\qquad \theta = -0.75\ln\left(1.00-0.20t\right)
  1. Halle la velocidad en cada instante.
  2. Calcule la rapidez del movimiento como función del tiempo.
  3. ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en llegar al origen de coordenadas? ¿Cuántas vueltas alrededor del origen da en ese tiempo?
  4. Halle la aceleración para cada instante, así como sus componentes intrínsecas
  5. Calcule los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada punto de ésta, en función de la base \{\vec{u}_\rho,\vec{u}_\theta\}
  6. Calcule el radio de curvatura como función del tiempo.

Solución

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_cinem%C3%A1tica_tridimensional_de_la_part%C3%ADcula_(GIOI)"

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