Test de la 1ª convocatoria CMR 2017-2018

De Laplace

Revisión a fecha de 17:51 15 feb 2018; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Plato en rotación
- 1.1 Pregunta 1
- 1.2 Pregunta 2
2 Fuerza central
3 Sistema de tres fuerzas
4 Tensor de inercia
- 4.1 Pregunta 1
- 4.2 Pregunta 2

1 Plato en rotación

El plato de un microondas es un disco de radio $R$ ("sólido 2"), que gira con velocidad angular $\Omega\vec{k}$ alrededor de su eje $O Z 1$ . Para que no roce con la caja, se apoya sobre tres ruedecillas de radio $r$ (siendo una de ellas el sólido “3”), montadas sobre un aro de plástico también de radio $R$ . El contacto del plato con las ruedecillas y de éstas con el suelo del horno es de rodadura sin deslizamiento. Se toma un sistema de ejes en el que el $O Z 0$ es el eje del plato y el $O X 0$ el horizontal que pasa por el centro de la ruedecilla “3”.

1.1 Pregunta 1

¿Cuál es la velocidad angular, respecto al suelo, del aro donde van montados las ruedecillas?

A $\vec{0}$ .
B $\Omega\vec{k}_0$ .
C $(\Omega/2) \vec{k}_0$ .
D $-\Omega\vec{k}_0$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

Puesto que la ruedecilla rueda sin deslizar sobre el disco, la velocidad del punto B, de contacto con el disco, es la misma que la del disco en ese punto

La velocidad del punto A, de contacto con el suelo, es nula, por estar rodando también sin deslizar

El centro del disco C, situado en el punto medio entre A y B, posee una velocidad que es la media de estas dos. O dicho de otra manera, el punto superior de una rueda se mueve al doble de velocidad que el centro

Este punto también pertenece al sólido 0 y por tanto la velocidad angular del aro es la mitad que la del disco

$\vec{\omega}_{01}=\frac{v^C_{01}}{R}\vec{k}_0=\frac{\Omega}{2}\vec{k}$

1.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la velocidad angular de la ruedecilla respecto a su eje, $O X 0$ ?

A $\Omega\vec{\imath}$ .
B $(\Omega R/r) \vec{\imath}$ .
C $-(\Omega R/2r) \vec{\imath}$ .
D $\Omega\vec{k}$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

Respecto al sólido 1, el punto C avanza con velocidad

$\vec{v}^C_{31}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}$

y el punto A está inmóvil

$\vec{v}^A_{31}=\vec{0}$

Respecto al sólido 0, el punto C estará inmóvil, mientras que A retrocede con velocidad

$\vec{v}^A_{30}=-\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}$

y al estar C en el eje de rotación de este movimiento

$-\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}=\vec{v}^A_{30}=\vec{\omega}_{30}\times\overrightarrow{CA}=(\omega_{30}\vec{\imath}_0)\times(-r\vec{k}_0)=\omega_{30}r\vec{\jmath}$

por lo que

$\vec{\omega}_{30}=-\frac{\Omega R}{2r}\vec{\imath}_0$

2 Fuerza central

Una partícula se mueve sobre el espacio sometida exclusivamente a la acción de una fuerza central con centro O, $\vec{F}=f(|\vec{r}|)\vec{u}_r$ . ¿Cuál de las siguientes cantidades no es una constante de movimiento?

A La energía mecánica
B El momento cinético respecto a O, el origen de coordenadas.
C La cantidad de movimiento.
D La masa de la partícula.

Solución

La respuesta correcta es la C.

Por la segunda ley de Newton

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}$

Por tanto, si hay una fuerza actuando sobre la partícula, su cantidad de movimiento no es constante.

3 Sistema de tres fuerzas

Un sólido está sometido al sistema de tres fuerzas $\vec{F}_A=F_0 \vec{\jmath}$ aplicada en $\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}$ , $\vec{F}_B=F_0 \vec{k}$ aplicada en $\overrightarrow{OB}=b\vec{\jmath}$ y $\vec{F}_C=F_0 \vec{\imath}$ aplicada en $\overrightarrow{OC}=b\vec{k}$ . Este sistema de fuerzas es equivalente a…

A un sistema nulo.
B un par de fuerzas.
C una fuerza única.
D un tornillo.

Solución

La respuesta correcta es la D.

Aplicamos el esquema

La resultante del sistema no es nula:

$\vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C=F_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})$

Por tanto, no puede ser ni un sistema nulo ni un par de fuerzas.

Hallamos el momento respecto a O

$\vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_C+\overrightarrow{OC}\times\vec{F}_C=bF_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})$

Este momento no es perpendicular a $\vec{F}$ (de hecho, es paralelo a la resultante). Por tanto, el sistema equivale a un tornillo.

4 Tensor de inercia

Un sólido está formado por dos masas iguales, $m 1 = m 2 = m$ , unidas por una varilla sin masa. las dos partículas se hallan en $\vec{r}_1=4b\vec{\imath}$ y $\vec{r}_2=b(\vec{\imath}+3\vec{\jmath}$ ), respectivamente.

4.1 Pregunta 1

¿Cuánto vale su tensor de inercia respecto al triedro OXYZ?

A $\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}9 & 0 & 0\\0 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix}$
B $\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}9 & 3 & 0\\3 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix}$
C $\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}17 & -3 & 0\\-3 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix}$
D $\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}9 & -3 & 0\\-3 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix}$

Solución

La respuesta correcta es la D.

Los elementos diagonales del tensor de inercia son los momentos de inercia

$I_{xx}=\sum_i m_i(y_1^2+z_i^2)\qquad\qquad I_{yy}=\sum_i m_i(x_1^2+z_i^2)\qquad\qquad I_{zz}=\sum_i m_i(x_1^2+y_i^2)$

y los no diagonales son los productos de inercia cambiados de signo

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): I_{xy}=-\sum_i m_i x_iy_i\qquad\qquadI_{xz}=-\sum_i m_i x_iz_i\qquad\qquadI_{yz}=-\sum_i m_i y_iz_i

Como solo tenemos dos masas, no hay problema en hallar cada elemento, pero comparando los resultados propuesto basta con hallar $I x x$ e $I x y$

$I_{xx} = m(0+0)+m(3b)^2 = 9mb^2\qquad\qquad I_{xy}=-m(4b)0-mb(3b)=-3mb^2$

y vemos que la correcta es la D.

4.2 Pregunta 2

¿Cuál de los siguientes es un eje principal de inercia de este sólido respecto al punto O?

A OX
B La recta que pasa por O y lleva la dirección de $3\vec{\imath}+\vec{\jmath}$
C La recta que pasa por O y lleva la dirección de $-\vec{\imath}+\vec{\jmath}$
D La recta que pasa por O y lleva la dirección de $\vec{\imath}+\vec{\jmath}$

Solución

La respuesta correcta es la B.

Si $\vec{u}$ va en la dirección d eun vector principal se cumple que

$\bar{\bar{I}}\cdot\vec{u}=I\vec{u}$

es decir el producto por el tensor de inercia produce un vector paralelo al original.

Aplicando esto a los diferentes vectores de las opciones resulta para la opción B

$mb^2\begin{pmatrix}9 & -3 & 0\\-3 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = mb^2 \begin{pmatrix} 24 \\ 8 \\ 0\end{pmatrix}= 8mb^2\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$

por lo que ésta es una dirección principal, siendo el momento de inercia principal $8 m b 2$ .

Test de la 1ª convocatoria CMR 2017-2018

De Laplace

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1 Plato en rotación

1.1 Pregunta 1

1.2 Pregunta 2

2 Fuerza central

3 Sistema de tres fuerzas

4 Tensor de inercia

4.1 Pregunta 1

4.2 Pregunta 2

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