Sistemas equivalentes de fuerzas (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Introducción
2 Vectores deslizantes
3 Teorema de Varignon
4 Casos particulares

1 Introducción

De las ecuaciones de la dinámica del sólido

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}& = & \vec{F}=\sum_i\vec{F}_{i\mathrm{ext}}\\ \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}& = & \vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{GP}_i\times\vec{F}_{i\mathrm{ext}}\end{array}$

se deduce que para determinar la evolución de un sólido solo precisamos dos cantidades vectoriales:

La resultante $\vec{F}$ , suma vectorial de las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido
El momento resultante $\vec{M}_G$ , suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas respecto al CM del sólido.

Aunque la expresión de las ecuaciones de movimiento quedan más simples si se emplea como punto de referencia (“centro de reducción”) el centro de masas, puede emplear un punto fijo arbitrario O, siendo la ecuación correspondiente

$\vec{M}_O = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\qquad\qquad \vec{L}_O=M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_{21}^G+\vec{L}_G$

y dado el momento de las fuerzas hallado respecto a un punto podemos hallar el correspondiente a cualquier otro con la relación

$\vec{M}_B = \vec{M}_A + \overrightarrow{BA}\times\vec{F}=\vec{M}_A + \vec{F}\times \overrightarrow{AB}$

Esto quiere decir que los diferentes sistemas de fuerzas que actúan sobre un sólido pueden clasificarse en sistemas equivalentes, identificados cada uno por la fuerza resultante y el momento resultante. Dos sistemas equivalentes tendrán el mismo efecto físico sobre el sólido.

Por ejemplo, dado un bloque situado sobre un suelo horizontal, no existe diferencia física entre empujarlo horizontalmente por su parte trasera o tirar horizontalmente desde la delantera. En ambos casos, la resultante es la misma y también lo es el momento de las fuerzas.

Por ello, el análisis de los casos posibles puede reducirse a los casos más sencillos. Dada la similitud entre la relación entre momentos y el teorema de Chasles, la lista de casos posibles es análoga a la clasificación de los movimientos rígidos.

2 Vectores deslizantes

Se denomina recta soporte de una fuerza $\vec{F}_0$ aplicada en un punto $P 0$ a aquella que pasa por el punto de aplicación y lleva la dirección de la fuerza:

$\overrightarrow{OP}(\lambda)=\overrightarrow{OP}_0+\lambda\vec{F}_0$

Por las propiedades del producto vectorial, el momento de la fuerza $\vec{F}_0$ es el mismo si en vez de estar aplicada en $P 0$ está aplicada en cualquier otro punto $P 1$ de la recta soporte.

$\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}_1\times\vec{F}_0=\left(\overrightarrow{OP}_0+\lambda\vec{F}_0\right)\times\vec{F}_0=\overrightarrow{OP}_0\times\vec{F}_0$

Por ello, se dice que las fuerzas aplicadas sobre un sólido son vectores deslizantes. El efecto físico que producen es el mismo si se desliza su punto de aplicación a lo largo de la recta soporte.

3 Teorema de Varignon

De entre los diferentes teoremas aplicables para la determinación de sistemas equivalenteso, existe uno de especial utilidad, especialmente en el caso de figuras planas, ya que facilita la solución por métodos geométricos.

Dadas varias fuerzas concurrentes el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas aplicada en el punto de concurrencia.

Donde entendemos como fuerzas concurrentes aquellas cuyas rectas soporte se cortan en un punto P.

La demostración es la siguiente: tenemos $n$ fuerzas concurrentes, $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ ,... $\vec{F}_n$ , aplicadas en los puntos $A 1$ , $A 2$ ,... $A n$ . El momento resultante respecto a un punto O es

$\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i$

Ahora bien, por pasar cada recta soporte por el punto de concurrencia P se cumple para cada una

$\overrightarrow{PA}_i\times\vec{F}_i=\vec{0}$

por ser vectores paralelos. Por tanto, para cada momento individual

$\overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i = (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA}_i)\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i$

y para la resultante

$\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}$

Por tanto, el procedimiento para hallar el momento resultante consiste en llevar todas las fuerzas al punto de concurrencia, hallar la resultante de todas las fuerzas y luego calcular su momento respecto al punto O.

Empleando las propiedades de los vectores deslizantes, el teorema de Varignon, y otras propiedades de los sistemas de fuerzas, es posible ir reduciendo un sistema a uno equivalente formado por solo dos fuerzas o, lo que es lo mismo, una fuerza y un momento, que determinan completamente la dinámica del sólido.

4 Casos particulares

Los diferentes sistemas de fuerzas aplicadas sobre un sólido pueden reducirse cada uno a un sistema equivalente $\{\vec{F},\vec{M}_O\}$ . Dependiendo de si alguno de estos vectores es nulo o no, obtenemos los siguientes casos particulares:

4.1 Equilibrio de un sólido

El caso más simple es aquel en que

$\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{M}_O=\vec{0}$

En este caso no hay acción neta sobre el sólido, por lo que este continúan en su estado de movimiento anterior.

Si el sólido se encontraba en un estado de reposo, continúa en él. El estudio de las condiciones en que esto ocurre constituye el objeto de la estática del sólido rígido. Habitualmente implica la introducción de fuerzas de reacción vincular que debe ser determinadas para las situaciones de equilibrio.

Si el solido se encuentra efectuando un movimiento rígido (traslación, rotación o helicoidal), continúa moviéndose. Su centro de masas continúa en un movimiento rectilíneo y uniforme, mientras que el sólido mantiene un estado de rotación en torno al centro de masas, que no tiene por qué ser uniforme. En esto un sólido es diferente de una partícula aislada. Para que una partícula aislada mantenga un movimiento de rotación es precisa una fuerza actuando sobre ella de forma continua. Para que un sólido mantenga una rotación no es preciso (como muestra el movimiento de rotación de la Tierra, por ejemplo).

4.2 Par de fuerzas

Supongamos ahora un sólido sometido simultáneamente a dos fuerzas iguales y opuestas, aplicadas sobre puntos diferentes A y B, de forma que la fuerzas actúan sobre rectas soporte paralelas. Esta configuración se conoce como par de fuerzas (o simplemente par o torque). En este caso

$\vec{F}_A=-\vec{F}_B\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B = -\vec{F}_B+\vec{F}_B = \vec{0}$

La resultante de las fuerzas aplicadas es nula, por lo que el centro de masas no se ve acelerado.

El momento de las fuerzas es distinto de cero y es independiente del punto respecto al que se calcule.

$\vec{M}_O = \overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A + \overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B = (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\times\vec{F}_B=\overrightarrow{AB}\times\vec{F}_B$

El momento respecto a O es independiente de la posicion del punto O. Por tanto, en presencia de un par de fuerzas, es indiferente calcular el momento respecto del centro de masas o de cualquier otro punto. A este vector $\vec{M}_O$ se le conoce como el“ momento del par”, o simplemente el “par” (ya que es equivalente dar las dos fuerzas y sus puntos de aplicación o dar directamente este vector).

Este vector es perpendicular al plano donde se encuentran las dos rectas sobre las que actúan las fuerzas y tiene por módulo

$|\vec{M}_O| = \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\vec{F}_B\right|\mathrm{sen}(\theta) = |\vec{F}_B|d$

siendo

$d = \left|\overrightarrow{AB}\right|\mathrm{sen}(\theta)$

la distancia entre las dos rectas soporte. A esta distancia se la denomina el brazo del par.

El efecto de un par de fuerzas es producir una aceleración angular alrededor del CM del sólido. Obsérvese que este efecto depende tanto de la magnitud de la fuerza aplicada como de la longitud del brazo. Un ejemplo de la vida diaria lo tenemos en el giro de la puerta alrededor de su bisagra. No es lo mismo aplicar una fuerza empujando un pomo situado cerca del borde de la puerta, que aplicar la misma fuerza en el centro de la puerta o justo al lado de la bisagra.

4.3 Fuerza única

Si sobre un sólido actúa una única fuerza en un punto A, pueden darse dos situaciones:

Que la línea de acción de la fuerza aplicada pase por el centro de masas. En este caso el efecto de la fuerza es acelerar el CM, pero no produce rotación del sólido, con lo que éste, si estaba inicialmente en reposo, tiende a realizar un movimiento de traslación.

$\vec{F}=\vec{F}_A \qquad\vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F}_A=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_G=\mathrm{cte}$

Que la recta soporte pase a una distancia $d$ del CM. En este caso, ni la resultante ni el momento son nulos

$\vec{F}=\vec{F}_A \qquad\vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F}_A\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{M}_G|= |\vec{F}_A|d$

El efecto es una aceleración del CM, combinado con una aceleración angular. Este sistema es equivalente a uno formado por tres fuerzas. La fuerza $\vec{F}_A$ que ya tenemos, una $\vec{F}_G=-\vec{F}_A$ sobre una recta que pase por el CM y una $\vec{F}'_G=\vec{F}_G$ sobre esta misma recta. Puesto que estamos sumando y restando lo mismo es claro que el sistema es equivalente, pero también los podemos ver como un par de fuerzas combinado con una fuerza que pasa por el CM. El efecto del par es la rotación y el de la fuerza la aceleración lineal.

Cuando tenemos una única fuerza actuando sobre un sólido, la recta sobre la cual actúa se denomina eje central.

Un conjunto de fuerzas es equivalente a una sola cuando tiene una resultante no nula y existe algún punto (una recta de puntos), tales que el momento de las fuerzas es nulo respecto a este punto. La recta definida por este punto y la dirección de la fuerza resultante es el eje central. La condición para que exista este eje central es que

$\vec{F}\neq \vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O\cdot\vec{F}=0$

y la posición del eje central, respecto al punto O, es

$\overrightarrow{OE} = \frac{\vec{M}_O\times\vec{F}}{|\vec{F}|^2}+\lambda\vec{F}$

Un ejemplo de un sistema reducible a una sola fuerza es el peso. En principio hay una fuerza actuando sobre cada uno de las partículas del sólido, siendo su resultante

$\vec{F}=m_1\vec{g}+m_2\vec{g}+\cdots = (m_1+m_2+...)\vec{g}=M\vec{g}$

y el momento resultante

$\vec{M}_O = \sum_i\overrightarrow{OP}_i\times(m_i\vec{g}) = \left(\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\right)\times\vec{g}=M\overrightarrow{OG}\times\vec{g}= \overrightarrow{OG}\times(M\vec{g})$

Es decir, la acción conjunta del peso de todo el sólido equivale a una única fuerza aplicada sobre el centro de masas (razón por la que también se lo denomina centro de gravedad).

4.4 Caso general

En el caso general, hallamos la resultante $\vec{F}$ y el momento resultante $\vec{M}_O$ en el punto O que más nos interese (no necesariamente el CM, sino que suele ser aquél punto respecto del cual los momentos se calculen de la manera más simple). En analogía con el teorema de Chasles podemos establecer la siguiente clasificación de los casos posibles, y el sistema equivalente mínimo:

Si $\vec{F}=\vec{0}$ y $\vec{M}_O=\vec{0}$ , el sólido no se acelera ni lineal ni angularmente.
Si $\vec{F}=\vec{0}$ y $\vec{M}_O\neq\vec{0}$ , el sistema equivale a un par de fuerzas; se produce aceleración angular, pero no lineal
Si $\vec{F}\neq\vec{0}$ y $\vec{M}_O\cdot\vec{F}=0$ el sistema equivale a una única fuerza aplicada sobre el llamado eje central. Si el eje central pasa por el CM se produce aceleración lineal pero no angular. Si no pasa por él se producen las dos aceleraciones.
Si $\vec{F}\neq\vec{0}$ y $\vec{M}_O\cdot\vec{F}\neq 0$ el sistema equivale a una fuerza superpuesta a un par, estando ambos en la misma dirección, como en el movimiento de un tornillo. Se produce tanto aceleración lineal como angular.