Test de la 1ª convocatoria CMR 2017-2018

De Laplace

Revisión a fecha de 00:12 15 feb 2018; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Plato en rotación
- 1.1 Pregunta 1
- 1.2 Pregunta 2
2 Fuerza central
3 Sistema de tres fuerzas

1 Plato en rotación

El plato de un microondas es un disco de radio $R$ ("sólido 2"), que gira con velocidad angular $\Omega\vec{k}$ alrededor de su eje $O Z 1$ . Para que no roce con la caja, se apoya sobre tres ruedecillas de radio $r$ (siendo una de ellas el sólido “3”), montadas sobre un aro de plástico también de radio $R$ . El contacto del plato con las ruedecillas y de éstas con el suelo del horno es de rodadura sin deslizamiento. Se toma un sistema de ejes en el que el $O Z 0$ es el eje del plato y el $O X 0$ el horizontal que pasa por el centro de la ruedecilla “3”.

1.1 Pregunta 1

T.1. ¿Cuál es la velocidad angular, respecto al suelo, del aro donde van montados las ruedecillas?

A $\vec{0}$ .
B $\Omega\vec{k}_0$ .
C $(\Omega/2) \vec{k}_0$ .
D $-\Omega\vec{k}_0$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

Puesto que la ruedecilla rueda sin deslizar sobre el disco, la velocidad del punto B, de contacto con el disco, es la misma que la del disco en ese punto

$\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^B_{21}=\Omega R\vec{\jmath}_0$

La velocidad del punto A, de contacto con el suelo, es nula, por estar rodando también sin deslizar

$\vec{v}^A_{31}=\vec{0}$

El centro del disco C, situado en el punto medio entre A y B, posee una velocidad que es la media de estas dos. O dicho de otra manera, el punto superior de una rueda se mueve al doble de velocidad que el centro

$\vec{v}^C_{31}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}_0$

Este punto también pertenece al sólido 0

$\vec{v}^C_{01}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}_0$

y por tanto

\vec{\omega}_{01}=\frac{v^C_{01}}{R}\vec{k}_0=\frac{\Omega}{2}\vec{k}

1.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la velocidad angular de la ruedecilla respecto a su eje, $O X 0$ ?

A $\Omega\vec{\imath}$ .
B $(\Omega R/r) \vec{\imath}$ .
C $-(\Omega R/2r) \vec{\imath}$ .
D $\Omega\vec{k}$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

Por la ley de composición de velocidades

$\vec{0}=\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{30}+\vec{v}^A_{01}$

La velocidad en el movimiento {01} es la misma que la de C, por estar a la misma distancia del eje OZ

$\vec{v}^A_{01}=\vec{v}^C_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}$

y por tanto

$\vec{v}^A_{30}=-\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}$

y al estar C en el eje de rotación de este movimiento

$-\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}=\vec{v}^A_{30}=\vec{\omega}_{30}\times\overrightarrow{CA}=(\omega_{30}\vec{\imath}_0)\times(-r\vec{k}_0)=\omega_{30}r\vec{\jmath}$

por lo que

$\vec{\omega}_{30}=-\frac{\Omega R}{2r}\vec{\imath}_0$

2 Fuerza central

Una partícula se mueve sobre el espacio sometida exclusivamente a la acción de una fuerza central con centro O, $\vec{F}=f(|\vec{r}|)\vec{u}_r$ . ¿Cuál de las siguientes cantidades no es una constante de movimiento?

A La energía mecánica
B El momento cinético respecto a O, el origen de coordenadas.
C La cantidad de movimiento.
D La masa de la partícula.

Solución

La respuesta correcta es la C.

Por la segunda ley de Newton

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}$

Por tanto, si hay una fuerza actuando sobre la partícula, su cantidad de movimiento no es constante.

3 Sistema de tres fuerzas

Un sólido está sometido al sistema de tres fuerzas $\vec{F}_A=F_0 \vec{\jmath}$ aplicada en $\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}$ , $\vec{F}_B=F_0 \vec{k}$ aplicada en $\overrightarrow{OB}=b\vec{\jmath}$ y $\vec{F}_C=F_0 \vec{\imath}$ aplicada en $\overrightarrow{OC}=b\vec{k}$ . Este sistema de fuerzas es equivalente a…

A un sistema nulo.
B un par de fuerzas.
C una fuerza única.
D un tornillo.

Solución

La respuesta correcta es la D.

Aplicamos el esquema

La resultante del sistema no es nula:

$\vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C=F_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})$

Por tanto, no puede ser ni un sistema nulo ni un par de fuerzas.

Hallamos el momento respecto a O

$\vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_C+\overrightarrow{OC}\times\vec{F}_C=bF_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})$

Este momento no es perpendicular a $\vec{F}$ (de hecho, es paralelo a la resultante). Por tanto, el sistema equivale a un tornillo.

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1 Plato en rotación

1.1 Pregunta 1

1.2 Pregunta 2

2 Fuerza central

3 Sistema de tres fuerzas

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