Campo eléctrico con simetría cilíndrica

De Laplace

Revisión a fecha de 14:14 25 ene 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un campo eléctrico con simetría cilíndrica está definido por la siguiente expresión, expresada en coordenadas cilíndricas:

$\mathbf{E}(\rho,\varphi,z)=\begin{cases} \displaystyle E_0\left(\frac{\rho}{a}\right)^2\mathbf{u}_\rho & (0\leq\rho<a)\\ & \\ \displaystyle -E_0\mathbf{u}_\rho\, & (a<\rho< b) \\ & \\ \mathbf{0} & (b<\rho)\end{cases}$

Determine las distribuciones de carga que producen este campo eléctrico, así como la carga eléctrica total.
Obtenga la expresión del potencial electrostático creado por esas distribuciones.
Halle la energía electrostática almacenada entre dos planos $z = 0$ y $z = h$ .

2 Solución

2.1 Distribuciones de carga

En este sistema podemos tener distribuciones de carga de volumen y de superficie.

2.1.1 Distribución volumétrica

La densidad de carga de volumen, $ρ$ , la podemos calcular aplicando la ley de Gauss en forma diferencial

$\rho = \varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E}$

Tenemos tres regiones, en cada una de las cuales la densidad tiene una expresión diferente

Para $0 < ρ < a$ , calculamos la divergencia empleando coordenadas cilíndricas

$\rho = \varepsilon_0\mathbf{E}= \frac{\varepsilon_0}{\rho}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\rho}\left(\rho E_0\frac{\rho^2}{a^2}\right) = \frac{3\varepsilon_0E_0\rho}{a^2}$

Para $a < ρ < b$ , empleando el mismo procedimiento

$\rho = \varepsilon_0\mathbf{E}= \frac{\varepsilon_0}{\rho}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\rho}\left(-\rho E_0\right) = -\frac{\varepsilon_0E_0}{\rho}$

Para $b < ρ$ el campo es nulo, y su divergencia, también

$\rho = \varepsilon_0\mathbf{E}= \varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{0}=0$

2.1.2 Distribución superficial

Además de las cargas en el volumen, podemos tener densidades superficiales de carga en las superficies en que el campo sea discontinuo. Esta densidad la da el salto en las componentes normales del campo eléctrico

$\sigma_s = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]$

Tenemos dos posibilidades

En $ρ = a$ , el vector normal es $\mathbf{n}=\mathbf{u}_\rho$ , y la densidad de carga

$\sigma_s(\rho=a) = \varepsilon_0\mathbf{u}_\rho\cdot\left(\mathbf{E}(a^+)-\mathbf{E}(a^-)\right) = \varepsilon_0\mathbf{u}_\rho\cdot\left(-E_0\mathbf{u}_\rho-E_0\mathbf{u}_\rho\right)=-2\varepsilon_0E_0$

En $ρ = b$ , operando del mismo modo,

$\sigma_s(\rho=b) = \varepsilon_0\mathbf{u}_\rho\cdot\left(\mathbf{E}(b^+)-\mathbf{E}(b^-)\right) = \varepsilon_0\mathbf{u}_\rho\cdot\left(0\mathbf{u}_\rho-(-E_0)\mathbf{u}_\rho\right)=\varepsilon_0E_0$

Reuniendo todos los resultados, tenemos las densidades de carga

$\rho=\begin{cases} \displaystyle \frac{3\varepsilon_0E_0\rho}{a^2} & (0\leq\rho<a)\\ & \\ \displaystyle -\frac{\varepsilon_0E_0}{\rho} & (a<\rho< b) \\ & \\ 0 & (b<\rho)\end{cases}$ $\sigma_s=\begin{cases} \displaystyle -2\varepsilon_0E_0 & (\rho=a)\\ & \\ \displaystyle \varepsilon_0E_0 & (\rho= b) \end{cases}$

2.1.3 Carga total

La carga total de la distribución es nula, ya que lo es el campo exterior a la distribución. Por aplicación de la ley de Gauss a una superficie exterior al cilindro

$Q_\mathrm{int}=\varepsilon_0\oint\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\varepsilon_0\oint\mathbf{0}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0$

Podemos obtener también este resultado integrando las densidades de carga calculadas en el apartado anterior (lo que, en esencia, consiste en reobtener el campo que derivamos para hallarlas).

Puesto que la longitud de la distribución es infinita, la cantidad de carga almacenada en cada región también lo es. Lo que se anula es la carga neta. Para evitar singularidades, hallaremos la carga por unidad de longitud, considerando la porción de cilindro contenida entre dos planos paralelos $z = 0$ y $z = h$ .

Calculando cada una de las contribuciones

En $0\leq\rho< a$

$Q_1 = \int\rho\,\mathrm{d}\tau=\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^a \mathrm{d}\rho\,\rho\,\frac{3\varepsilon_0E_0\rho}{a^2}=2\pi ha\varepsilon_0E_0$

En $ρ = a$

$Q_2 = \int\sigma_s\,\mathrm{d}S=\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\,a\,(-2\varepsilon_0E_0)=-4\pi ha\varepsilon_0E_0$

En $a < ρ < b$

$Q_3 = \int\rho\,\mathrm{d}\tau=\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_a^b \mathrm{d}\rho\,\rho\,\left(-\frac{\varepsilon_0E_0}{\rho}\right)=-2\pi h(b-a)\varepsilon_0E_0$

En $ρ = b$

$Q_4 = \int\sigma_s\,\mathrm{d}S=\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\,b\,(\varepsilon_0E_0)=2\pi hb\varepsilon_0E_0$

En $b < ρ$

$Q_5 = \int\rho\,\mathrm{d}\tau=\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_b^\infty \mathrm{d}\rho\,\rho\,0=0$

Sumando las cinco contribuciones

$Q=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5 = 2\pi h\varepsilon_0E_0\left(a-2a-(b-a)+b+0\right)=0$

en completo acuerdo con el resultado anterior. De hecho, este segundo método sirve como test para ver que las densidades de carga no fueran calculadas incorrectamente.

2.2 Potencial eléctrico

Este segundo apartado es completamente independiente del anterior, ya que no se trata de hallar el potencial eléctrico por integración directa a partir de las densidades de carga obtenidas (lo que sería una tarea hercúlea), sino a partir del campo eléctrico, mediante la integral de camino