Primera Convocatoria Ordinaria 2014/15 (G.I.A.)

De Laplace

Revisión a fecha de 16:51 28 ene 2015; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Partícula moviéndose sobre una hélice

Una partícula $P$ de masa $m$ está insertada en la hélice fija y uniforme $Γ$ . Utilizando un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ , en el cuál la gravedad está descrita analíticamente por el vector $\vec{g}=-g\vec{k}$ , la ecuación parámetrica de dicha hélice es:

$\Gamma:\vec{r}(\theta) = x(\theta)\,\vec{\imath} + y(\theta)\,\vec{\jmath} + z(\theta)\,\vec{k} \left\{ \begin{array}{l} x(\theta) = a\cos\theta\\ \\ y(\theta) = a\,\mathrm{sen}\,\theta\\ \\ z(\theta) = \lambda\,\theta \end{array} \right.$

donde $a$ y $λ$ son constantes. EL parámetro geométrico $θ$ es el ángulo que forma con el eje $O X$ la proyección del radio-vector $\vec{r}=\overrightarrow{OP}$ sobre el plano horizontal $O X Y$ . Cuando la partícula recorre la hélice $Γ$ , sin rozamiento apreciable, su movimiento queda descrito por la ley horaria $θ(t)$ .

Determine cuál debe ser el valor de la constante $λ$ para que el radio de curvatura de la hélice sea $R κ = 3 a / 2$ . ¿Qué distancia $h$ asciende la partícula en la dirección vertical cada vez que da una vuelta completa alrededor del eje $O Z$ .
Obtenga la expresiones de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración en términos de la ley horaria $θ(t)$ y/o sus derivadas.
Discuta razonadamente si se verificará la conservación (total o parcial) del momento cinético $\vec{L}_O$ de la partícula, calculado respecto del punto fijo $O$ .

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