Segunda Prueba de Control 2013/14 (F1 G.I.A.)

De Laplace

Masa subiendo por rampa

En la figura se muestra el esquema de un sistema mecánico formado por un lanzador de longitud l₀, conectado a una rampa ascendente que consiste en un cuadrante de superficie cilíndrica de radio R. El lanzador está compuesto por un plano horizontal rugoso y, paralelo a ́este, un resorte de longitud natural l₀ y constante recuperadora k, con un extremo fijo en el lanzador. El otro extremo impulsa a la partícula P cuando el resorte se halla comprimido. El contacto entre la partícula y el plano del lanzador está caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor μ = 0.3. Una vez que la partícula abandona el lanzador y entra en contacto con la superficie de la rampa, el rozamiento puede considerarse despreciable.

1. Si K₀ es el valor de la energía cinética de una partícula de masa m, en el instante en que esta entra en la rampa ascendente (punto A) ¿cómo está relacionada la energía cinética de la partícula con su posición en la rampa, dada por el valor del ́angulo θ indicado en al figura?
2. ¿Qué distancia mínima (d = d_min) hay que comprimir el resorte para que una partícula de masa m = kR / g pueda completar el recorrido sobre la rampa, deteniéndose instantáneamente en el punto B?
3. Considerando que el resorte estaba comprimido la distancia d_min para que la partícula de la cuestión anterior pueda alcanzar el extremo B, ¿cuanto valen los módulos de la velocidad y la aceleración instantánea de la partícula en el instante , cuando acaba de entrar en la rampa (punto A)?
4. Cuando se procede al lanzamiento de la partícula y ́esta pasa del lanzador plano horizontal en , a la rampa , ¿que le ocurre a la componente de la fuerza de reacción vincular que

es perpendicular a las superficies por las que desliza (es decir, la componente normal lisa asociada al vínculo geométrico)

Satélite girando alrededor de la Tierra

Un satélite meteorológico realiza un movimiento circular uniforme en torno a la Tierra, describiendo ́una órbita circular a una altura de 850 km sobre la superficie. Considerando que la única fuerza significativa que actúa sobre el satélite es la debida al campo gravitatorio terrestre, ¿cuántas vueltas a la Tierra efectúa al cabo del día?

Disco rotando alrededor de barra vertical

Un disco de radio y espesor no despreciable (sólido "2") se mueve respecto de un plano fijo (sólido "1"). En cada instante, un punto del perímetro de la base inferior del disco está en contacto con el plano Π₁, mientras que el diametralmente opuesto, se apoya sobre el eje fijo OZ₁. En todo momento, las bases del disco forman un ángulo π / 4 con el plano Π₁. El movimiento del disco es tal que rueda sin deslizar sobre dicho plano, en el punto de contacto A. Además, el centro C de la base inferior realiza un movimiento circular de radio R en torno al eje OZ₁, en sentido horario y con velocidad de módulo constante v₀. Para analizar el movimiento, se sugiere utilizar un sólido ("0") consistente en un sistema de referencia OX₀Y₀Z₀ tal que OZ₀ = OZ₁ en todo instante y que se mueve de manera que el eje CC' del disco (cuya prolongación pasa por O) se encuentra en reposo en el plano OY₀Z₀.

1. Trace los ejes de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21} en el instante representado e identifique los tipos de movimiento.
2. Encuentre la reducción cinemática y su derivada para el movimiento {21}.