F1 GIA SPC 2013, Masa subiendo por rampa

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

En la figura se muestra el esquema de un sistema mecánico formado por un lanzador de longitud $l 0$ , conectado a una rampa ascendente que consiste en un cuadrante de superficie cilíndrica de radio $R$ . El lanzador está compuesto por un plano horizontal rugoso y, paralelo a ́este, un resorte de longitud natural $l 0$ y constante recuperadora $k$ , con un extremo fijo en el lanzador. El otro extremo impulsa a la partícula $P$ cuando el resorte se halla comprimido. El contacto entre la partícula y el plano del lanzador está caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor $μ = 0.3$ . Una vez que la partícula abandona el lanzador y entra en contacto con la superficie de la rampa, el rozamiento puede considerarse despreciable.

Si $K 0$ es el valor de la energía cinética de una partícula de masa $m$ , en el instante $t = t_0^+$ en que esta entra en la rampa ascendente (punto $A$ ) ¿cómo está relacionada la energía cinética de la partícula con su posición en la rampa, dada por el valor del ́angulo $θ$ indicado en al figura?
¿Qué distancia mínima $(d = d m i n)$ hay que comprimir el resorte para que una partícula de masa $m = k R / g$ pueda completar el recorrido sobre la rampa, deteniéndose instantáneamente en el punto $B$ ?
Considerando que el resorte estaba comprimido la distancia $d m i n$ para que la partícula de la cuestión anterior pueda alcanzar el extremo $B$ , ¿cuanto valen los módulos de la velocidad y la aceleración instantánea de la partícula en el instante $t = t_0^+$ , cuando acaba de entrar en la rampa (punto $A$ )?
Cuando se procede al lanzamiento de la partícula y ́esta pasa del lanzador plano horizontal en $t=t_0^-$ , a la rampa $t=t_0^+$ , ¿que le ocurre a la componente de la fuerza de reacción vincular que

es perpendicular a las superficies por las que desliza (es decir, la componente normal lisa asociada al vínculo geométrico)

2 Solución

2.1 Consideraciones generales

En el tramo entre el muelle y el punto $A$ el contacto es rugoso, mientras que cuando empieza a subir la rampa el contacto es liso. La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa en cada una de las partes del trayecto. La fuerza $\vec{\Phi}$ es siempre perpendicular al desplazamiento, por lo que no realiza trabajo. Las fuerzas del muelle y el peso son conservativas. Pero la fuerza de rozamiento sí realiza trabajo y no es conservativa. Por tanto, en el trayecto entre el muelle y el punto $A$ no se conserva la energía mecánica, mientras que en el recorrido por la rampa sí lo hace. Sin embargo, en este caso podemos calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, por lo que podemos calcular la variación de energía mecánica y resolver así el problema.

2.2 Energía cinética en función del ángulo

La energía mecánica se conserva en la rampa. En esta zona el muelle no actúa, por lo que podemos prescindir de la energía potencial elástica del resorte. Escogemos como origen de energía potencial gravitatoria la altura del punto $A$ . Por tanto, la energía de la partícula cuando llega a $A$ es

$E A = K 0$

Cuando sube por la rampa la partícula pierde energía cinética y gana energía potencial gravitatoria. Ésta se puede expresar en función del ángulo. Tenemos

$U g (θ) = m g (R - R cosθ) = m g R (1 - cosθ)$

Para un valor dado de $θ$ la energía mecánica es

$E = K (θ) + m g R (1 - cosθ)$

Como debe ser igual a la energía mecánica en $A$ llegamos a

$K (θ) = K 0 - m g R (1 - cosθ)$

2.3 ¿Cuanto hay que comprimir el resorte?

Supongamos que la masa está en el punto $P (0)$ . Ahora hay que tener en cuenta la energía potencial elástica del muelle. Escogemos como origen de energía potencial la posición relajada del resorte. Si llamamos $l m$ a la elongación del muelle, la potencial elástica de la partícula en el instante inicial es

$U_k(P(0)) = \dfrac{1}{2}k(l_m-l_0)^2$

Esa es la energía mecánica inicial de la partícula

$E_0 = \dfrac{1}{2}k(l_m-l_0)^2$

Si queremos que se detenga justo en el punto $B$ , en lo alto de la rampa, su energía cinética ahí debe anularse, por lo que sólo la energía potencial gravitatoria debe contribuir a la energía mecánica en ese punto

$E B = m g R$

Ocurre que la energía mecánica no se conserva, pues la masa atraviesa una zona de rozamiento. Pero podemos calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento. En el régimen dinámico la fuerza de rozamiento cumple

$|\vec{F}_R| = \mu|\vec{\Phi}|$

En el trayecto hasta el punto $A$ la fuerza normal es igual al peso. Por tanto, la fuerza de rozamiento es constante y la partícula realiza un movimiento rectilíneo, por lo que el trabajo no conservativo es

$W_R = - |\vec{F}_R|(l_0-l_m) = -\mu mg(l_0-l_m)$

EL balance de energía mecánica es

$Δ E = E B - E 0 = W R$

Por tanto

$E_B = E_0 + W_R \Rightarrow mgR = \dfrac{1}{2}k(l_m-l_0)^2 - \mu mg(l_0-l_m)$

Lo que se comprime el resorte es precisamente $d m = l 0 - l m$ . Sustituyendo el valor de la masa nos queda una ecuación de segundo grado para $d m$

$d_m^2 - 2\mu Rd_m - 2R^2=0$

Tenemos dos soluciones

$d_m = R\left(\mu \pm \sqrt{2+\mu^2}\right)$

Sólo tiene sentido la solución positiva, por lo que la respuesta es

$d_m = R\left(\mu + \sqrt{2+\mu^2}\right) \approx 1.75R$

2.4 Velocidad y aceleración al entrar en la rampa

La energía mecánica en $A$ es igual que en $B$ . Por tanto

$\dfrac{1}{2}mv_A^2 = mgR \Rightarrow v_A = \sqrt{2gR}$

Justo después del punto $A$ la velocidad cambia en dirección. Por tanto la aceleración en $A$ es distinta de cero. Por otro lado, la aceleración es paralela a la fuerza neta. En ese instante las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son el peso y la fuerza de reacción vincular. Pero en ese instante las dos son verticales, el peso apuntado hacia abajo y la fuerza vincular hacia arriba. Por tanto la aceleración es también vertical (debe apuntar hacia arriba para que la partícula siga la rampa). En todo caso, la aceleración es perpendicular a al velocidad, es decir, sólo tiene componente normal. Como la partícula realiza un movimiento circular, la aceleración normal es

$a_N = \dfrac{v^2}{R} = 2g$

Ese el el módulo de la aceleración en el punto $A$

2.5 ¿Que pasa con la normal?

Justo antes del punto $A$ la normal sólo debe compensar al peso para que la masa no atraviese el suelo. Pero justo en el punto $A$ , además de eso, la fuerza vincular tiene que girar la velocidad de la partícula para que está suba por la rampa. Es decir, en el punto $A$ la fuerza vincular da un salto e incrementa su módulo. Podemos calcular el salto. Justo antes de $A$ tenemos

$\vec{\Phi}^- = -m\vec{g} \Rightarrow |\vec{\Phi}|^- = mg$

Justo después tenemos

$m\vec{a}^+ = \vec{\Phi}^+ + m\vec{g} \Rightarrow \vec{\Phi}^+ = m\vec{a} - m\vec{g} \Rightarrow |\vec{\Phi}|^+ = 3mg$

El salto es

$\Delta|\vec{\Phi}| = |\vec{\Phi}|^+ - |\vec{\Phi}|^- = 2mg$

F1 GIA SPC 2013, Masa subiendo por rampa

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Consideraciones generales

2.2 Energía cinética en función del ángulo

2.3 ¿Cuanto hay que comprimir el resorte?

2.4 Velocidad y aceleración al entrar en la rampa

2.5 ¿Que pasa con la normal?

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