Campos vectoriales en diferentes sistemas

De Laplace

1 Enunciado

Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

2 Solución

2.1 Primer campo

Para expresar el vector de posición en diferentes sistemas coordenados, lo más simple es aplicar que se trata de un gradiente, tal como se ve en otro problema.

Otra posibilidad es el cálculo directo. Por ejemplo, para expresar este vector en coordenadas esféricas, escribimos en primer lugar las componentes cartesianas en función de las coordenadas esféricas

A continuación, multiplicamos por cada uno de los vectores de la base, expresados también en sus componentes cartesianas. La componente radial es

La componente polar se anula

Lo mismo ocurre con la componente acimutal

\] por lo que la expresión final es el conocido

Una posibilidad adicional de cálculo directo consiste en, tras sustituir las componentes cartesianas por su expresión esféricas, expresar los vectores de la base cartesiana como combinación lineal de los vectores de la base en esféricas. Así, por ejemplo,

Operando después con los coeficientes de cada vector de la base esférica se llega a la expresión buscada.

2.2 Segundo campo