Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)

De Laplace

1 Momento de inercia de un sistema de partículas

Se tiene un sólido formado por ocho partículas de masa m situadas en los vértices de un cubo de arista a. Halle el momento de inercia del cubo respecto a los siguientes ejes:

1. Uno perpendicular a una cara y que pase por el centro del cubo.
2. Uno que pase por dos vértices opuestos.
3. Uno que pase por los centros de dos aristas opuestas.
4. Uno que pase por una arista

2 Cálculo de momentos de inercia

Halle los siguientes momentos de inercia de sólidos de densidad homogénea.

1. Una corona cilíndrica de masa M radio interior R₁ y exterior R₂, con altura h respecto al eje del cilindro.
2. Una corona esférica de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂, con respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado en el caso de una esfera maciza y de una superficie esférica?
3. Una placa cuadrada de masa M y lado a respecto a:
   1. Un eje perpendicular a ella y que pasa por el centro.
   2. Un eje que pasa por dos vértices opuestos.
   3. Un eje que pasa por los centros de dos lados opuestos.
4. Un paralelepípedo de masa M y lados a, b y c respecto a un eje que pasa por los centros de dos caras opuestas.
5. Un péndulo compuesto formado por una barra de longitud L y masa M₁ y un disco de radio R y masa M₂ clavado en un extremo de la barra respecto a un eje pependicular al plano del disco y que pasa por el otro extremo de la barra.

3 Péndulo compuesto

Se tiene un péndulo compuesto consistente en una barra de longitud L y masa M suspendida por un punto situado a una distancia b del centro de la barra (b < L / 2). Suponiendo que la barra se desvía poco de la vertical de forma que los ángulos son pequeños:

1. Determine el periodo de oscilación de la barra
2. Calcule la fuerza ejercida sobre el punto de anclaje cuando la barra pasa por la vertical en su oscilación.

4 Rotación de un patinador

Un patinador sobre hielo, que pesa 70 kg y mide 180 cm gira uniformemente con sus brazos pegados verticalmente a su cuerpo, con un periodo de 1 s por vuelta. Si ahora levanta sus brazos y los extiende completamente, ¿cuál será su nuevo periodo de rotación? haga una estimación del resultado, justificando las aproximaciones efectuadas.

Estime igualmente el trabajo necesario para efectuar esta maniobra.

5 Rotores desequilibrados

Se tiene un rotor formado por dos masas iguales, de valor m situadas en los extremos de una barra ideal (sin masa) de longitud L. Cuando este rotor está equilibrado gira en torno a un eje perpendicular a la barra y que pasa por su centro. Este eje está anclado en dos rodamientos situados a una distancia h del centro de la barra (uno por encima y otro por debajo de ella).

Calcule las fuerzas horizontales que el rotor produce sobre los rodamientos cuando gira con velocidad angular constante ω en torno al eje si:

1. Es horizontal pero se encuentra descentrado de forma que el eje no pasa por el centro de la barra, sino a una distancia b de éste.
2. Está centrado pero la barra está inclinada respecto a la horizontal un ángulo θ

Desprecie el efecto del peso.

6 Rodadura por una pendiente

En lo alto de un plano inclinado de altura 1.2 m y con una pendiente del 75% se encuentran los siguientes objetos, todos ellos de masa 0.5 kg y radio 10 cm:

• Una superficie cilíndrica hueca
• Un cilindro macizo
• Una superficie esférica hueca
• Una esfera maciza

Si se sueltan a la vez desde el extremo superior del plano, ¿con qué velocidad llega cada uno al punto más bajo del plano? ¿en qué orden llegarán y cuanto tarda cada uno en llegar?

7 Dimensiones del Mundo Anillo