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Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Magnitudes conservadas en un movimiento rectilíneo

Una partícula de masa m = 2.00\,\mathrm{kg} se mueve según las leyes horarias, en el SI

x=(4.00+8.00t)\,\mathrm{m}\qquad\qquad y = (-2.00+1.00t)\,\mathrm{m}\qquad\qquad z = (-4.00-4.00t)\mathrm{m}

Demuestre que su cantidad de movimiento, su momento cinético respecto al origen de coordenadas y su energía cinética permanecen constantes. Halle el valor de estas tres cantidades.

2 Conservación de magnitudes en movimiento curvo

Una partícula de masa m describe el movimiento plano

\rho = A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\varphi = \Omega t\qquad\qquad\ t \in(0,\pi/\Omega)
  1. Calcule la fuerza que actúa sobre la partícula en cualquier instante del intervalo.
  2. Halle el impulso que experimenta entre t = 0 y t = π / (2Ω).
  3. Demuestre que el momento cinético de la partícula respecto al origen no se conserva, pero respecto al punto \vec{r}_1 = (A/2)\vec{\jmath} sí.
  4. Calcule la energía cinética de la partícula. ¿Se conserva esta cantidad?

3 Conservación en un oscilador armónico tridimensional

Una partícula de masa m=0.50\,\mathrm{kg} se encuentra sometida exclusivamente a una fuerza que satisface la ley de Hooke

\vec{F}=-k\vec{r}\qquad\qquad k = 2.00\,\mathrm{N}/\mathrm{m}

siendo su posición y velocidad iniciales

\vec{r}_0 = (-12.0\,\vec{\imath}+11.0\vec{\jmath})\,\mathrm{m}\qquad \qquad \vec{v}_0=(-8.0\vec{\imath}+24.0\,\vec{\jmath})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
  1. Calcule el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas
  2. Halle la energía mecánica de la partícula
  3. Determine las distancias máxima y mínima a las que pasa del origen, así como la rapidez mínima que alcanza

4 Trabajo en una semicircunferencia

Una partícula se encuentra sometida a su peso \vec{F}=-mg\vec{k}. Halle el trabajo realizado por esta fuerza

W= \int_A^B\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}

cuando la partícula pasa de \vec{r}_A=R\vec{k} a \vec{r}_B=-R\vec{k} moviéndose sobre una semicircunferencia vertical de radio R con centro el origen de coordenadas.

5 Rapidez y tensión de un péndulo

Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa m y longitud L pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo θ0 con el que se separa de la vertical.

Compare este resultado con el que se obtiene empleando la aproximación lineal. Determine el error relativo cometido con esta aproximación para \theta_0=10^\circ, \theta_0=20^\circ,… \theta_0=90^\circ

Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical. en función del ángulo θ0

6 Energía en el salto desde un puente

Haciendo puenting (bungee jumping en inglés), Alberto, de 75 kg, se deja caer desde el pretil de un puente situado a 70 m de altura sobre un río empleando una cuerda elástica de 30 m.

  1. Determine la constante elástica k que debe tener la cuerda para que Alberto llegue a rozar el agua del río.
  2. Si, empleando la misma goma, se deja caer Benito, de 90 kg, ¿con qué rapidez impactará con el agua? ¿Cuánta cuerda debería recoger si quiere llegar él también rozando al agua?

7 Anilla ensartada en aro

Se tiene un aro circular de radio R situado verticalmente. Determine la velocidad que debe comunicarse a una partícula de masa m situada en el punto más bajo del aro para que sea capaz de llegar hasta el punto más alto si la partícula es:

  1. Una anilla ensartada en el aro
  2. Una bolita que desliza por el interior del aro, sin estar unida a él.

Calcule la reacción que ejerce el aro sobre la partícula en el punto más bajo y en el más alto, para los dos casos anteriores. Desprecie el rozamiento en todos los casos.

8 Rizando el rizo

Una masa desliza sin rozamiento por un plano inclinado un ángulo α. A la salida del plano se encuentra una pista circular de radio R. determine la altura mínima que debe tener el plano para que la partícula pueda completar el lazo completo.

9 Partícula que se despega de esfera

Una partícula de masa m se encuentra inicialmente en reposo en el punto superior de una esfera de radio R apoyada en el suelo. La partícula desliza sin rozamiento sobre la superficie de la esfera.

  1. Determine el punto de la esfera en el que la partícula se despega de ella.
  2. ¿Qué rapidez tiene la partícula en el momento en que impacta con el suelo?
  3. Calcule el punto en el el que la masa impacta en el suelo.

10 Disipación de energía por rozamiento

Un bloque de 500 g se encuentra en lo alto de un plano inclinado de 120 cm de altura y una pendiente del 75%. En el extremo inferior del plano se encuentra un resorte que hace rebotar a la masa elásticamente (sale con la misma rapidez con la que llega). Se suelta la masa, dejándola deslizarse por el plano.

  1. Suponga que no hay rozamiento entre la masa y el plano. ¿Con qué rapidez llega al punto más bajo? ¿Hasta que altura vuelve a subir tras rebotar en el resorte?
  2. Suponga ahora un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ = 0.25
    1. ¿Cuál es la rapidez al llegar al punto más bajo del plano?
    2. ¿Cuánta energía se ha disipado en el descenso?
    3. ¿Hasta que altura vuelve a ascender tras el rebote? ¿Cuánta energía se disipa en el ascenso?
Archivo:disipacion-masa-plano.png

11 Potencia necesaria en un automóvil

Calcule la potencia requerida en un automóvil de 1200 kg en las siguientes circunstancias:

  1. El automóvil sube una pendiente del 6% con rapidez constante de 80 km/h
  2. El automóvil acelera en un llano de 100 km/h a 120 km/h en 6.0 s.

Suponga que la fuerza de rozamiento promedio es aproximadamente constante e igual a 600 N.

12 Velocidad de escape

Se define la velocidad de escape de un campo gravitatorio como aquella que permite llegar al infinito con velocidad nula. Sabiendo que la energía potencial gravitatoria tiene la expresión

U(\vec{r})=-\frac{GMm}{|\vec{r}|}
  1. Determine la velocidad de escape que debe tener un cuerpo para salir de la superficie terrestre hacia el espacio exterior.
  2. Halle los valores numéricos para el caso de la superficie terrestre, la lunar y la marciana (consulte los datos de las masas en internet).
  3. Determine el radio que debería tener el Sol para que ni la luz pudiera escapar de él.

13 Propiedades de órbita planetaria

Un planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol (supuesto fijo) tal que su mínima distancia (perihelio) vale d y su máxima distancia (afelio) vale D. A partir de la conservación del momento cinético y de la energía mecánica, que para el caso planetario

E= \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2-\frac{GMm}{|\vec{r}|}

determine la rapidez del planeta en el perihelio y el afelio.

Aplique este resultado al caso terrestre, siendo d = 147\,098\,290\,\mathrm{km} y D= 152\,098\,232\,\mathrm{km}. El producto GM para el sol vale GM= 132\,712\,440\,018\,\mathrm{km}^3/\mathrm{s}^2.

14 Equilibrio en parábola

Una partícula de masa m se encuentra sometida simultáneamente a su peso y la fuerza atractiva de un resorte de constante k y longitud natural nula anclado en el punto \vec{r}_0=\vec{0}. La partícula está ensartada en la parábola y = 0, z = − x2 / (2b).

  1. Determine la energía potencial de la masa, como función de la coordenada x.
  2. Localice la(s) posición(es) de equilibrio de la partícula.
  3. Discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.

15 Equilibrios de un péndulo

Trace la curva de energía potencial para un péndulo rígido de longitud L del que cuelga una masa m, en función del ángulo θ con el que se separa de la vertical. Suponga que el punto más bajo corresponda a U = 0. A la vista de la curva,

  1. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
  2. ¿Cómo es el movimiento si la energía mecánica vale mgL? ¿Y si vale 3mgL?

16 Partícula suspendida de resorte e hilo

Una partícula de peso P = 30\,\mathrm{N} se encuentra atada simultáneamente a una barra rígida de longitud L=80\,\mathrm{cm} y a un muelle de longitud natural nula y constante k=40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}. Los anclajes de la barra y el resorte distan D=100\,\mathrm{cm}.

  1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿Cuánto vale la tensión de la barra en este momento? ¿Cuál es la longitud del resorte?
  2. Suponga que se corta la unión de la masa con el resorte. ¿Qué tipo de movimiento describe la masa a partir de ese momento? Halle la rapidez máxima que alcanza.
  3. Suponga que, en lugar de lo anterior, se corta la unión de la masa con la barra. ¿Qué movimiento describe en ese caso? Calcule la amplitud y frecuencia del movimiento resultante. Halle la rapidez máxima que alcanza.
Archivo:masa-resorte-barra.png
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