Energía y leyes de conservación (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 14:31 30 oct 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Integrales primeras
2 Cantidad de movimiento
3 Momento cinético
4 Trabajo y energía cinética
5 Energía potencial
6 Energía mecánica
7 Curvas de potencial
8 Problemas

1 Integrales primeras

Una constante de movimiento (también llamada integral primera) es una magnitud función de la posición, velocidad de la partícula (o de las partículas, si hay más de una) cuyo valor es constante, pese a que la posición y la velocidad sí son variables en el tiempo

$\forall t\qquad C(\vec{r},\vec{v},t)=C_0=\mathrm{cte.}$

Por ejemplo, supongamos una partícula que describe el movimiento circular

$\vec{r}(t) = A\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}$

Este movimiento verifica las relaciones

$x^2 + y^2 = A^2\qquad\qquad z=0$

Así, aunque tanto $x$ como $y$ son funciones del tiempo, una combinación de las dos coordenadas permanece constante. Si hubiéramos conocido esta constancia antes de determinar la ley horaria, sabríamos que la trayectoria es una circunferencia, aunque la rapidez pudiera ser desconocida.

El valor concreto de una constante de movimiento puede calcularse a partir de las condiciones iniciales (o de los valores de la posición y velocidad en cualquier instante)

$C(\vec{r},\vec{v})=C_0=C(\vec{r}_0,\vec{v}_0)\,$

El ejemplo más conocido de constante de movimiento, que veremos más adelante, es el de la energía mecánica. Cuando un cuerpo cae, su posición varía y su velocidad aumenta, pero la energía mecánica, que es una cierta combinación de la posición y la velocidad, permanece constante.

Las integrales primeras pueden tener una interpretación física directa (como la energía o el momento cinético) o ser combinaciones más o menos abstractas válidas para un solo problema concreto. A continuación estudiaremos tres magnitudes, construidas a partir de la posición y la velocidad, cuyas leyes de evolución pueden determinarse a partir de las leyes de Newton. Estas cantidades, si se dan las condiciones adecuadas, son candidatas a ser constantes de movimiento, y por tanto son las primeras candidatas cuando en un problema se buscan integrales primeras. Estas magnitudes son:

La cantidad de movimiento
El momento cinético
La energía (cinética, potencial y mecánica).

2 Cantidad de movimiento

2.1 Definición

Se define la cantidad de movimiento de una partícula como el producto de su masa por su velocidad

$\vec{p}=m\vec{v}\,$

2.2 Teorema de la cantidad de movimiento

A partir de la definición es inmediato que

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a} = \vec{F}$

esto es, la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula.

2.3 Impulso

En ocasiones, no nos interesa tanto saber cómo cambia la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo infinitesimal, sino saber cuánto varía durante un cierto periodo. Supongamos una partícula que viaja libremente y por tanto con cantidad de movimiento constante $\vec{p}_1$ . Entonces es sometida a una fuerza $\vec{F}(t)$ durante un intervalo entre $t 1$ y $t 2$ (por ejemplo, durante una colisión, a partir del cual vuelve a moverse libremente, con cantidad de movimiento constante $\vec{p}_2$ . Se trata de hallar el incremento en la cantidad de movimiento durante la colisión. Integrando en la segunda ley de Newton obtenemos

$\Delta \vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1 = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,\mathrm{d}t$

Esta integral de la fuerza sobre un intervalo recibe el nombre de impulso, por lo que la igualdad anterior establece que

“El incremento de la cantidad de movimiento es igual al impulso recibido”

Esta relación, aparentemente trivial, tiene su importancia en la teoría de colisiones y de percusiones, donde se ignora el valor exacto de la fuerza, pero sí se conoce el valor del impulso.

Así, por ejemplo, en un saque de tenis, la rapidez de la pelota pasa de ser prácticamente nula a valer unos 60 m/s. Dado que la masa de una pelota es de 68 g, esto supone un impulso

$\Delta p = m v - 0 = 4.08\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}$

No conocemos la fuerza instantánea sobre la pelota, puesto que su deformación la convierte en un problema muy complejo. Podemos hallar la fuerza media, si conocemos el tiempo de colisión. Un valor típico podrían ser 30 ms, lo que nos da una fuerza media

$F_m = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{4.08\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}}{0.03\,\mathrm{s}}=136\,\mathrm{N}$

Por comparación, esta fuerza es 2000 veces el peso, o lo que es lo mismo, la pelota experimenta una aceleración de unos 200g.

2.4 Teorema de conservación

De la segunda ley de Newton es inmediato que:

“La cantidad de movimiento de una partícula permanece constante cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula durante un intervalo de tiempo”

$\vec{0}=\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$

Puesto que la masa de la partícula permanece constante, si la cantidad de movimiento se conserva, la velocidad también permanece constante

$\vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$ $\Rightarrow$ $\vec{v}=\frac{\vec{p}}{m}=\mathrm{cte}$

Por tanto, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula se anula durante un intervalo de tiempo, la partícula se mueve uniformemente durante dicho periodo.

Esto no es exactamente lo mismo que lo que dice la Primera Ley de Newton, pues esta ley habla de partícula no sometida a ninguna interacción, mientras que el teorema de conservación se refiere a una partícula sometida a diferentes fuerzas, pero tales que su resultante es nula.

Para el caso de una partícula este teorema de conservación aporta poca información nueva. Sin embargo, su extensión al caso de un sistema de partículas es extremadamente útil.

3 Momento cinético

3.1 Definiciones

Momento cinético: Se define el momento cinético (o momento angular) de una partícula respecto a un punto fijo O como

$\vec{L}_O = \vec{r}\times\vec{p}=m\vec{r}\times\vec{v}$

siendo

$\vec{r}=\overrightarrow{OP}$

el vector de posición del punto P relativa al punto O.

Momento de una fuerza: Se define el momento de una fuerza respecto a un punto fijo O como

$\vec{M}_O = \vec{r}\times\vec{F}$

Si tenemos varias fuerzas actuando sobre la misma partícula, el momento resultante es igual al momento de la resultante

$\vec{M}_O=\sum_i \vec{M}_{iO}=\sum_i\vec{r}\times\vec{F}_i = \vec{r}\times\sum_i\vec{F}_i =\vec{r}\times\vec{F}$

3.2 Derivada del momento cinético (Teorema del momento cinético)

Como consecuencia de la segunda ley de Newton, la derivada del momento cinético de una partícula es igual al momento resultante sobre ella

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} =m\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{r})\right)\times\vec{v}+m\,\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\overbrace{\vec{v}\times\vec{v}}^{=\vec{0}}+\vec{r}\times\vec{F}=\vec{M}_O$

3.3 Teorema de conservación

De la expresión para la derivada del momento cinético se deduce su teorema de conservación:

Si la resultante de los momentos de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, el momento cinético de dicha partícula permanece constante.

$\vec{0} = \vec{M}_0=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}$ $\Rightarrow$ $\vec{L}_O=\mathrm{cte}$

3.4 Fuerzas centrales

Las fuerzas centrales constituyen un caso particular e importante de las diferentes fuerzas presentes en la naturaleza. Una fuerza central es aquella que en todos los puntos del espacio posee dirección radial desde un punto fijo O, siendo además dependiente solo de la distancia a dicho punto

$\vec{F}(\vec{r}) = f(|\vec{r}|)\vec{r}$

Ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza de la gravedad debida a un objeto masivo (como la atracción que el Sol ejerce sobre la Tierra), o la fuerza eléctrica debida a una carga en reposo.

Se tiene que

El momento cinético respecto a un punto O de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, con centro O, permanece constante.

La demostración es inmediata, ya que el vector de posición relativo y la fuerza son vectores paralelos

$\vec{M}_O = \vec{r}\times\overbrace{\vec{F}}^{\parallel\vec{r}} = \vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_O = \mathrm{cte}$

Una consecuencia inmediata de la conservación del momento cinético para una fuerza central es:

La trayectoria de una partícula sometida a una fuerza central es plana.

El plano en el que ocurre la trayectoria es el definido por el centro de fuerzas, la posición inicial y la velocidad inicial.

Puesto que el momento cinético se conserva tenemos que si multiplicamos escalarmente el vector de posición relativo por este vector constante

$\vec{L}_O\cdot\vec{r}=m\overbrace{\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)}^{\perp\vec{r}}\cdot\vec{r} = 0$

Esta es la ecuación vectorial de un plano que pasa por O y es normal a la dirección de $\vec{L}_O$ .

Este resultado también es válido para fuerzas no centrales que conservan el momento cinético.

3.5 Conservación parcial del momento cinético

Existen ocasiones en que el momento cinético no se conserva. Sin embargo, incluso en esos casos es a menudo posible obtener una ley de conservación más restringida.

Para ello, tenemos en cuenta que el momento cinético es un vector y posee tres componentes. Puede ocurrir que aunque el vector como tal no sea constante, una de sus componentes sí lo sea. Sea $\vec{u}$ un vector unitario fijo. La componente del momento angular según la dirección de $\vec{u}$ es

$L_{u}=\vec{L}_O\cdot\vec{u}\,$

Derivando aquí respecto al tiempo

$\frac{\mathrm{d}L_u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{u}=\vec{M}_O\cdot\vec{u}=M_u$

Si se anula la componente en la dirección de $\vec{u}$ del momento de las fuerzas aplicadas, la componente del momento cinético en dicha dirección permanece constante.

4 Trabajo y energía cinética

4.1 Trabajo de una fuerza constante

Cuando una fuerza constante se aplica sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento $Δ x$ en la dirección de la fuerza aplicada, se dice que la fuerza realiza un trabajo

$W = F\,\Delta x$

Vemos que las unidades en las que se mide el trabajo son las de una fuerza por una distancia, siendo la unidad SI 1 julio = 1 newton·m.

El trabajo es positivo si la fuerza se aplica en el mismo sentido que se realiza el desplazamiento y negativo si se opone a él. El trabajo es nulo si no hay desplazamiento. Una persona puede ejercer toda la fuerza que quiera contra una pared, hasta agotarse. Si la pared no se mueve, no ha realizado trabajo alguno.

Si la fuerza, como vector que es, posee una dirección diferente al desplazamiento, solo su componente en la dirección de este realiza trabajo

$W = F_\parallel\,\Delta x$

Esta cantidad de expresa de manera más sencilla con ayuda del producto escalar

$W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r}$

Vemos que

El trabajo es una cantidad escalar, con signo.
No se realiza trabajo si se ejerce una fuerza pero no se produce desplazamiento.
Una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo alguno.

4.2 Trabajo de una fuerza variable

Si tenemos una partícula que realiza una trayectoria arbitraria, sometida a una fuerza variable con la posición o el tiempo, podemos hallar el trabajo dividiendo el camino en diferenciales casi rectilíneos, calculando el trabajo (diferencial) en cada uno, y sumando (integrando) el resultado.

El trabajo diferencial es igual a

$\mathrm{d} W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

A partir de aquí obtenemos el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C como la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

$W_{A\to B} = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \delta W = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

4.3 Trabajo de la superposición de varias fuerzas

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas simultáneamente, por el principio de superposición, el trabajo total será igual a la suma de los trabajos individuales

$W_i = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \vec{F}_i\cdot\mathrm{d}\vec{r}\qquad\qquad\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i\qquad W = \sum_i W_i$

4.4 Potencia

A partir del trabajo, se define la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo $d t$ , dividido por dicho intervalo

$P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}$

De esta definición resulta que la potencia tiene dimensiones de trabajo partido por tiempo (o fuerza multiplicada por velocidad), siendo su unidad el vatio (W), igual a un 1 J/s.

4.5 Energía cinética. Teorema de la fuerzas vivas

4.5.1 Caso de una fuerza constante

En el caso de una partícula sometida a una fuerza neta constante, el resultado es un movimiento uniformemente acelerado

$\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2\qquad \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}t$

Si multiplicamos escalarmente la segunda ecuación por sí misma nos queda

$|\vec{v}|^2 = (\vec{v}_0+\vec{a}t)\cdot(\vec{v}_0+\vec{a}t) = |\vec{v}_0|^2+2\vec{a}\cdot\left(\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2\right)$

y teniendo en cuenta el desplazamiento dado por la ecuación horaria nos queda

$|\vec{v}|^2=|\vec{v}_0|^2 + 2\vec{a}\cdot\Delta\vec{r}$

Multiplicando por la masa y dividiendo por 2 nos queda finalmente

$\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2 -\frac{1}{2}m|\vec{v}_0|^2 = (m\vec{a})\cdot\Delta\vec{r}=\vec{F}\cdot\Delta \vec{r} = W$

que podemos abreviar como

$W = \Delta K\,$

siendo $K$ una cantidad que llamamos energía cinética de la partícula

$K = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2$

4.5.2 Caso de una fuerza variable

Si tenemos una trayectoria arbitraria que va del punto A al punto B y la partícula está sometida a una fuerza neta variable, simplemente dividimos el camino en pequeñas porciones en cada una de las cuales puede suponerse la fuerza prácticamente constante. Para cada uno de estos diferenciales de camino se cumplirá

$\mathrm{d}K = \mathrm{d}\left(\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2\right) = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}W$

y sumando para todas las porciones obtenemos la relación

$\int_A^B \mathrm{d}K = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \mathrm{d}W \qquad \rightarrow\qquad \Delta K = W_{A\to B}$

La identidad

$W_{A\to B} = \Delta K\,$

se conoce como teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética).

4.5.3 Interpretación

El teorema de las fuerzas vivas

$W_{A\to B} = K_B-K_A\,$

requiere una cierta interpretación ya que se presta a confusiones. Lo enunciamos primero con palabras:

El trabajo realizado entre dos puntos por la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al incremento de la energía cinética entre dichos dos puntos

Es decir, si se hace un trabajo positivo sobre la partícula, su energía cinética aumenta, esto es, se mueve más rápido. Si por contra el trabajo es negativo, oponiéndose al movimiento, la energía cinética disminuye y la partícula se mueve más despacio.

Si la partícula tiene en el punto B la misma rapidez que en el punto A, su energía cinética no ha cambiado y por tanto el trabajo neto realizado sobre ella es nulo, independientemente de que haya existido una fuerza actuando sobre ella, acelerándola en los puntos intermedios.

Hay que remarcar que el teorema de las fuerzas vivas habla de la fuerza neta, esto es, la resultante de las fuerzas aplicadas. Si sobre una partícula actúan varias fuerzas simultáneamente, cada una de ellas realizará un trabajo, pero cada uno de ellos no es igual a la variación de la energía cinética, solo su suma lo es.

$\vec{F}=\sum_i \vec{F}_i\qquad\rightarrow\qquad W = \sum_i W_i = \Delta K\,$

También hay que remarcar otro aspecto de la expresión del teorema. Puede aparecer extraño que de la relación

$\mathrm{d}K = \mathrm{d}W\,$

no se deduzca la igualdad entre dos incrementos. La razón es profunda y se relaciona con conceptos más generales que se estudian en Termodinámica. La idea es la siguiente:

La energía cinética es una función de estado: esto quiere decir que conocido el estado de la partícula (su posición y su velocidad instantáneas), podemos hallar su energía cinética

$K = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2$

y su valor es uno solo. Podemos imaginar que la partícula, por moverse con la rapidez que lo hace, almacena una cierta cantidad de energía cinética. Por ello, el incremnto de K es igual a su valor en B menos su valor en A.

El trabajo no es una función de estado, sino que depende del camino: no nos basta con saber qué posición y que velocidad tiene la partícula en un momento dado, sino que necesitamos saber qué curva ha descrito (por ello se indica una C en la integral correspondiente) y qué fuerza ha actuado sobre ella en cada punto del camino. El trabajo es por sí mismo una integral. No es el incremento ni la variación de nada. No podemos decir que la partícula almacena un trabajo.

Por ello, los dos diferenciales anteriores son de distinto tipo (y en ocasiones se representan con letras diferentes, el de la energía con $d$ y el del trabajo con $δ$ ). El diferencial de energía es un incremento muy pequeño de una función. El trabajo diferencial es una cantidad muy pequeña de trabajo realizado.

Así, el teorema de las fuerzas vivas representa que un trabajo realizado sobre una partícula se “almacena” en forma de energía cinética.

4.5.4 Forma diferencial del teorema

A partir de la relación entre los diferenciales podemos escribir el teorema de las fuerzas vivas como una relación entre derivadas en lugar de integrales.

$\mathrm{d}K = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Dividiendo por el diferencial de tiempo empleado en realizar el desplazamiento

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} = \vec{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}=P$

esto es, en cada instante, la derivada respecto al tiempo de la energía cinética es igual a la potencia neta realizada sobre la partícula.

4.6 Teorema de conservación de la energía cinética

Este teorema implica, entre otras resultados, que

“Una partícula sometida a una fuerza puramente normal a su trayectoria (o nula) en todo momento mantiene constante su energía cinética y por tanto se mueve de manera uniforme (aunque la dirección de movimiento sea cambiante).”

Ejemplo de fuerzas permanentemente normales a la trayectoria son:

La fuerza magnética $\vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B}$
La fuerza de Coriolis que aparece en sistemas no inerciales.
Las fuerzas de reacción vincular debidas a vínculos sin rozamiento e independientes del tiempo.

Esta última propiedad es especialmente importante porque permite aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica a partículas vinculadas, sin necesidad de considerar las fuerzas de reacción a la hora de calcular la energía. Por ejemplo, puede hallarse la velocidad de una masa que desciende por un plano inclinado empleando razonamientos energéticos sin incluir la reacción normal al plano.

4.6.1 Ejemplos

4.6.1.1 Trabajo de un oscilador armónico

El teorema de las fuerzas vivas posee numerosas aplicaciones, ya que permite determinar celeridades sin necesidad de resolver la ecuación de movimiento.

Consideremos el caso d un oscilador armónico que se libera desde el reposo a una distancia A del punto de equilibrio. ¿Que rapidez tiene la masa cuando pasa por éste? ¿Qué trabajo se realiza entre el punto inicial y el de máxima elongación al otro lado de la posición de equilibrio?

El trabajo que realiza la fuerza recuperadora entre la posición inicial y la de equilibrio vale

$\vec{F}=-kx \vec{\imath}\qquad \mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}x\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad W=\int_A^0(-kx\vec{\imath})\cdot(\mathrm{d}x\vec{\imath})=-k\int_A^0x\,\mathrm{d}x=\frac{kA^2}{2}$

Este trabajo es igual al incremento de energía cinética

$\frac{1}{2}kA^2 = \Delta K = \frac{1}{2}m|\vec{v}(x=0)|^2-\frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}(x=A)|^2}^{=0}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}(x=0)| = \sqrt{\frac{k}{m}}A$

vemos que hallamos la rapidez en el punto de equilibrio sin necesidad de usar los senos y cosenos que nos dan las ecuaciones horarias.

Para la segunda cuestión, el trabajo realizado entre el punto inicial (de velocidad nula) y el punto opuesto de máxima elongación (que también es un punto de reposo instantáneo) es nulo.

$W= \Delta K = \frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}(x=-A)|^2}^{=0}-\frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}(x=A)|^2}^{=0} = 0$

4.6.1.2 Partícula que desliza por un aro

4.6.1.3 Disipación de energía cinética

En el caso de una partícula sometida exclusivamente a una fuerza de rozamiento dinámico (seco o viscoso), la energía cinética disminuye de forma continuada, ya que

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_r\cdot\vec{v}$

Dado que la fuerza de rozamiento dinámico se opone a la velocidad, este producto escalar es negativo y la energía cinética disminuye.

En particular, en el caso de un rozamiento viscoso lineal nos queda

$\vec{F}_r = -\gamma\vec{v}\qquad \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=-\gamma |\vec{v}|^2 = -\frac{2\gamma}{m}K$

Separando diferenciales e integrando llegamos a un decaimiento exponencial en la energía cinética

$K(t) = K_0\mathrm{e}^{-t/\tau}\qquad \tau = \frac{m}{2\gamma}$

El tiempo que tarda la energía en disiparse es independiente de la velocidad inicial. Sí depende de la masa de la partícula. Cuanto mayor sea su masa, y por tanto su inercia, más lentamente decae la energía.

5 Energía potencial

El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

$W_{A\to B}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_1\ A}^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_2\ A}^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Esto permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo O (el origen de potencial) hasta un punto fijo

$U(P)=-\int_{O}^P \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\,$

Con esta definición se cumple, para fuerzas conservativas,

$W_{A\to B}=U(A) - U(B) = -\Delta U\,$

La demostración es la siguiente. Debemos hallar el trabajo en el camino de A a B. Si $\vec{F}$ es conservativa, podemos elegir el camino que queramos para ir de un punto a otro. Tomamos entonces una ruta que pasa por O. Entonces se cumple

$W_{A\to B}=\int_A^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_A^O \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\ +\int_O^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_O^A \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\ +\int_O^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -U(A)+U(B) = -\Delta U$

Entre los casos importantes de fuerzas conservativas tenemos:

El peso, para el cual, si el origen de potencial es la superficie terrestre y $z$ la altura sobre ella:

$U(\vec{r}) = mg z\,$

Más en general la fuerza gravitatoria producida por un cuerpo fijo sobre otro, tomando como origen de potencial el infinito, tiene una energía potencial

$U(\vec{r}) = -\frac{GMm}{|\vec{r}|}\,$

El oscilador armónico, que cumple la ley de Hooke, tomando el origen de potencial en el punto de equilibrio

$U(\vec{r}) = \frac{1}{2}k|\vec{r}|^2\,$

Conocida la energía potencial, puede hallarse la fuerza calculando su gradiente:

$\vec{F}=-\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x}\vec{\imath}-\frac{\partial U}{\partial y}\vec{\jmath}-\frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}$

que en el caso de una función dependiente de una sola coordenada se reduce a una derivada ordinaria.

6 Energía mecánica

6.1 Teorema de la energía mecánica

Cuando existe una energía potencial de la cual deriva la fuerza que actúa sobre una partícula se cumple la siguiente identidad

$W_{A\to B} = \int_A^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=U(A)-U(B) = -\Delta U$

esto es, el trabajo realizado sobre la partícula es igual a la disminución de su energía potencial.

Combinando este teorema con el de las fuerzas vivas obtenemos

$-\Delta U = U(A) - U(B) = W_{A\to B} = K(B) - K(A) = \Delta K\,$

esto es, la que disminuye la energía potencial es igual a lo que aumenta la energía cinética (o viceversa). Reagrupando términos y definiendo la energía mecánica de la partícula como la suma de su energía cinética más la potencial obtenemos

$E(A) = K(A) + U(A) = K(B) + U(B) = E(B) = \mathrm{cte}\,$

lo que se conoce como teorema de conservación de la energía mecánica:

“En ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica de una partícula permanece constante.”

Este teorema deja de cumplirse cuando sobre la partícula actúan fuerzas no conservativas, como el rozamiento. Las fuerzas que reducen la energía mecánica (normalmente transformándola en calor) se conocen como fuerzas disipativas.

Si sobre una partícula actúan tanto fuerzas conservativas como no conservativas, las consideramos por separado. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas

$\Delta K = W_c+W_{nc}\,$

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la disminución de su energía potencial

$\Delta K = -\Delta U + W_{nc}\,$

Agrupando términos resulta que el incremento de la energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas

$\Delta E = W_{nc}\,$

En el caso particular de una fuerza de rozamiento, este trabajo es negativo y la energía mecánica disminuye como consecuencia de la fricción.

Si en lugar de considerar un incremento finito, calculamos la derivada respecto al tiempo obtenemos

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}=P_{nc}$

esto es, la derivada de la energía mecánica es la potencia desarrollada por las fuerzas no conservativas.

6.2 Conservación de la energía mecánica=

6.3 Ejemplos

El uso de razonamientos basados en la energía permite simplificar numerosos cálculos al prescindir del carácter vectorial de las magnitudes y poder omitir las fuerzas de reacción vincular que no realizan trabajo.

Entre los ejemplos inmediatos de aplicación están:

La velocidad de impacto en la caída libre de un cuerpo o de un cuerpo sometido a vínculos lisos.
La velocidad de oscilación de un péndulo
El intercambio entre energía cinética y potencial en un oscilador armónico.
La velocidad de escape de un campo gravitatorio.

7 Curvas de potencial

El análisis de la energía mecánica es especialmente útil en el caso de movimientos unidimensionales. Si tenemos una partícula cuyo movimiento se produce a lo largo de un eje OX, sometida a una fuerza dependiente sólo de la coordenada $x$

$\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}$ $\vec{F}=F(x)\vec{\imath}$

Para una fuerza de este tipo siempre existe una energía potencial dada por su integral respecto a $x$

$U(x) = -\int_{x_0}^x F(x)\,\mathrm{d}x$ $F(x) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}$

de forma que la ley de conservación de la energía mecánica se escribe

$\frac{1}{2}mv^2 + U(x) = E=\mathrm{cte}$

Si trazamos la gráfica de la energía potencial $U = U (x)$ como función de la posición $x$ , podemos establecer varias propiedades del movimiento, que ilustraremos con el ejemplo de la figura.

En primer lugar, es importante tener claro que esta gráfica no representa una curva bidimensional. No es una especie de montaña rusa en la que una bolita suba o baje, aunque comparta varias propiedades con este tipo de superficie. En la curva de potencial, la única coordenada es $x$ . El eje de ordenadas representa la energía, no una distancia vertical.
La curva de potencial permite establecer los puntos de equilibrio, así como la estabilidad de estos.
- Los puntos de equilibrio son aquellos para los que la fuerza sobre la partícula se anula. Esto corresponde a los extremos (máximos o mínimos) de la función $U (x)$ . En el ejemplo serían las posiciones A, B y C.
- Dado que la fuerza sobre la partícula es la pendiente de la curva cambiada de signo, un mínimo de la energía potencial es un punto de equilibrio estable (A y B en el ejemplo), mientras que un máximo es un punto de equilibrio inestable (C en la figura).
Un valor de la energía mecánica constante puede representarse como una recta horizontal en la gráfica ( $E = E 1$ , por ejemplo). En ese caso la diferencia entre esta recta y el valor de la curva en el mismo punto nos da el valor de la energía cinética, $K$ .
Puesto que la energía cinética no puede tener un valor negativo, el movimiento está acotado entre los puntos donde la recta de la energía mecánica corta a la curva de energía potencial.
Los puntos donde la recta corta a la curva (D y G en la figura) son de energía cinética nula. En ellos la partícula queda en una posición de reposo instantáneo y la velocidad cambia de signo. Se denominan puntos de retorno.
Para un valor dado de la energía mecánica, puede existir varios estados de movimiento posibles. Así, para $E = E 2$ la partícula puede oscilar en torno al punto A o en torno al punto B, pero no las dos cosas a la vez. Le es imposible atravesar la barrera de potencial situada en el máximo en C.

Como ilustración de casos sencillo, las siguientes son las curvas de potencial correspondientes a una pelota que se mueve verticalmente, sometida a la acción del peso y cuyo movimiento está limitado por el suelo, y el caso de un oscilador armónico, que describe un movimiento armónico simple.

Caída libre	Oscilador armónico	Oscilador armónico con rozamiento

En el caso de que haya fuerzas de fricción no conservativas la energía mecánica disminuye progresivamente y la partícula termina parándose en un punto de equilibrio estable.

Estática de la partícula

8 Problemas