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Problemas de dinámica de un sistema de partículas

De Laplace

Contenido

1 Cuatro partículas en un cuadrado

Se tienen 4 masas que ocupan los vértices de un cuadrado de lado a=1\,\mathrm{m}. Calcula la posición del centro de masas del sistema en cada uno de los casos siguientes

  1. m_1=m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.
  2. m_1=m_2=2\,\mathrm{kg}, m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.
  3. m_1=m_4=2\,\mathrm{kg}, m_2=m_3=1\,\mathrm{kg}.
  4. m_1=100\,\mathrm{kg}, m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.

Solución

2 Solución

Para un sistema de n masas puntuales, cada una con una masa mi y un vector de posición \vec{r}_i , la posición del centro de masas (CM) viene dada por la expresión

\vec{r}_{CM} = \frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\vec{r}_i}{\sum\limits_{i=1}^nm_i}

En este caso tenemos cuatro masas. Utilizando el sistema de ejes de la figura sus vectores de posición son

\begin{array}{l} \displaystyle \vec{r}_1 = -\frac{a}{2}\,\vec{\imath} -\frac{a}{2}\,\vec{\jmath}\\ \\ \displaystyle \vec{r}_2 = +\frac{a}{2}\,\vec{\imath} -\frac{a}{2}\,\vec{\jmath}\\ \\ \displaystyle \vec{r}_3 = +\frac{a}{2}\,\vec{\imath} +\frac{a}{2}\,\vec{\jmath}\\ \\ \displaystyle \vec{r}_4 = -\frac{a}{2}\,\vec{\imath} +\frac{a}{2}\,\vec{\jmath} \end{array}

Aplicando la expresión que nos da el CM tenemos

\displaystyle \vec{r}_{CM} = \frac{a}{2(m_1+m_2+m_3+m_4)} \left[ (-m_1+m_2+m_3-m_4)\,\vec{\imath} + (-m_1-m_2+m_3+m_4)\,\vec{\jmath} \right]

Examinemos cada uno de los casos planteados.

2.1 Todas las masas iguales

En esta situación obtenemos

\vec{r}_{CM}=\vec{0}

El CM se sitúa en el origen del sistema de coordenadas. Recordemos que si hay un elemento de simetría en el sistema el CM tiene que estar en él. En este caso el centro del cuadrado es un punto de simetría.


2.2 m1 = m2 y m3 = m4

Aplicando la expresión tenemos

\displaystyle \vec{r}_{CM} = -a\frac{m_1-m_3}{m_1+m_3}\,\vec{\jmath}

El eje Y es de simetría, luego el CM debe estar en él. Además, las masas m1 y m2 son más grandes, por lo que el CM está más cerca de ellas. Sustituyendo los valores numéricos tenemos

\vec{r}_{CM} = -(1/3)\,\vec{\jmath}\quad(\mathrm{m})

2.3 m1 = m4 y m2 = m3

Aplicando la expresión tenemos

\displaystyle \vec{r}_{CM} = -a\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,\vec{\imath}

El eje X es de simetría, luego el CM debe estar en él. Además, las masas m1 y m4 son más grandes, por lo que el CM está más cerca de ellas. Sustituyendo los valores numéricos tenemos

\vec{r}_{CM} = -(1/3)\,\vec{\imath}\quad(\mathrm{m})

Este caso es equivalente al anterior si giramos el cuadrado 90o.


2.4 m2 = m3 = m4 y m1 > > m2

Aplicando la expresión tenemos

\displaystyle \vec{r}_{CM} = -a\frac{m_1-m_2}{2(m_1+3m_2)}\,\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

En este caso el eje de simetría es la diagonal que se muestra en la figura. El CM debe estar en esa diagonal, y más cerca de la masa m1 pues esta es mucho mayor que las otras. Sustituyendo los valores numéricos tenemos

\vec{r}_{CM} = -\dfrac{99}{206}\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath})\quad(\mathrm{m})

3 Dos partículas unidas por un oscilador armónico

Supongamos dos partículas de la misma masa m unidas por un resorte de constante k y longitud natural nula. Inicialmente ambas masas se encuentran en el mismo punto; y se le comunica a la partícula 2 una velocidad v0 alejándola de la primera, mientras que la partícula 1 se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cuál es el movimiento subsiguiente de ambas partículas?

Solución

4 Ejemplo de un sistema de partículas

Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,

i mi \mathbf{r}_i \mathbf{v}_i
1 5 \mathbf{0} \mathbf{0}
2 4 3\mathbf{i} 3\mathbf{j}
3 3 4\mathbf{j} -4\mathbf{i}

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante k = 30N / m y longitud natural nula. No hay más fuerzas actuando en el sistema. Para el instante indicado:

  1. Determina la aceleración de cada partícula.
  2. Calcula la posición, velocidad y aceleración del CM.
  3. Calcula el momento cinético del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  4. Halla la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  5. Calcula las derivadas respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, del momento cinético y de la energía cinética.

Solución

5 Momento cinético de una barra

Una barra homogénea de masa m y longitud L gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular uniforme \vec{\omega}.

  1. Calcula el momento angular de la barra respecto a su punto central.
  2. Ahora el eje de giro pasa por uno de sus extremos. Calcula el momento angular de la barra en este caso, respecto a un punto del eje de giro.
  3. En la situación anterior, la longitud de la barra se multiplica por dos, mientras que su masa permanece constante. ¿Cómo cambia la velocidad angular? ¿Y si se divide por dos?

Solución

6 Dos partículas unidas por una barra

Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial v0 perpendicular a la línea de la barra. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?

Solución

7 Propulsión a reacción

Un cohete a reacción se impulsa en el espacio emitiendo gases a cierta velocidad en el sentido opuesto a su propio movimiento. Sea un cohete que tiene una masa M0 y lleva una carga inicial de combustible m0. Este combustible es expulsado a ritmo constante \dot{m} con una velocidad constante respecto a la nave, v0. Si la nave parte del reposo, ¿cuál será su velocidad cuando se le agote el combustible?

Solución

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_din%C3%A1mica_de_un_sistema_de_part%C3%ADculas"

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