Problemas de Ecuaciones de Maxwell

De Laplace

Revisión a fecha de 17:37 5 jul 2009; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Campos en un condensador en CA
2 Nube de carga de radio variable
3 Teorema de Poynting para un condensador
4 Teorema de Poynting en un cable coaxial
5 Campos eléctricos y magnéticos debidos a un tubo de corriente
6 Cálculo de fuentes del campo electromagnético
7 Fuentes y fuerza de un posible campo electromagnético

1 Campos en un condensador en CA

Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio

b

y separadas una distancia

a

( $a\ll b$ ); entre ellas hay vacío. Entre los centros de las placas se establece una tensión

V 0 cosω t

.

Halle, en primera aproximación, el campo eléctrico que se establece entre las placas.
Determine el campo magnético inducido en el espacio entre las placas, según la ley de Ampère-Maxwell.
Calcule, la primera corrección en el campo eléctrico obtenido en (1), de acuerdo con la ley de Faraday. ¿Para qué valor del radio empieza a ser importante esta corrección (esto es, comparable al campo estático)?
Indique como serían las siguientes correcciones, tanto en $\mathbf{E}$ como en $\mathbf{B}$ .

2 Nube de carga de radio variable

Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se contrae y dilata, variando el radio de la esfera como

R (t) = R 0 + a cos(ω t)

. La carga total de la nube,

Q 0

, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que $\mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r}$ y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

3 Teorema de Poynting para un condensador

El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad $\varepsilon$ , conductividad

σ

, y permeabilidad magnética

μ

. El radio de las placas es

b

, y la distancia entre ellas es

a

( $a\ll b$ ). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión

V (t)

.

Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.
Calcule el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ .
Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, así como su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio $b$ y altura $a$ , concéntrica con el sistema.
¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este caso?

4 Teorema de Poynting en un cable coaxial

Un cable coaxial ideal está formado por un cilindro interior, de radio

a

, perfectamente conductor, y una superficie cilíndrica exterior, de radio

b

, también perfectamente conductora. Los cilindros se extienden indefinidamente a lo largo de su eje.

El cilindro interior se encuentra a una tensión $V 0$ , mientras que la superficie exterior se encuentra a tierra. Simultáneamente, por la superficie del núcleo fluye una corriente $I 0$ en la dirección del eje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que hay distribuida uniformemente una corriente $- I 0$ .

Halle los campos eléctrico y magnético en todos los puntos del espacio.
Calcule las densidades de energía eléctrica y magnética por unidad de volumen, así como la energía total almacenada en una porción de longitud $h$ del cable coaxial.
Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En qué dirección fluye la energía? Halle el flujo de energía a través de una sección del cable coaxial.

5 Campos eléctricos y magnéticos debidos a un tubo de corriente

Un cilindro de radio $a$ y longitud infinita posee una densidad de carga uniforme $ρ 0$ . El cilindro se mueve con velocidad constante $\mathbf{v}_0$ paralelamente a su eje, de forma que existe una densidad de corriente $\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}_0$ . Para todos los puntos del espacio halle:

El campo eléctrico, $\mathbf{E}$ .
El campo magnético, $\mathbf{B}$ .
Las densidades de energía eléctrica, $u_\mathrm{e}\,$ , magnética, $u_\mathrm{m}\,$ y electromagnética, $u_\mathrm{em}\,$ .
El vector de Poynting, $\mathbf{N}$ .
La velocidad de propagación de la energía, definida como $\mathbf{v}_u=\mathbf{N}/u_\mathrm{em}$ .

6 Cálculo de fuentes del campo electromagnético

Los campos eléctrico y magnético en el interior de un tubo metálico, de sección cuadrada (que se extiende entre $- a < x < a$ y $- a < y < a$ , e indefinidamente a lo largo del eje $z$) vienen dado por las expresiones

$\mathbf{E} = A x (a^2-y^2)\mathbf{u}_{x}\qquad \mathbf{B} = -2Ax y t \mathbf{u}_{z}$

En el exterior de este volumen ambos campos son nulos.

Pruebe que este campo ( $\mathbf{E}$ , $\mathbf{B}$ ) verifica todas las ecuaciones y condiciones de salto necesarias para ser un campo electromagnético.
Calcule las densidades de carga y de corriente, fuentes de este campo.

7 Fuentes y fuerza de un posible campo electromagnético

En una región del espacio tenemos un par de campos dados por las expresiones, en coordenadas cilíndricas,

$\mathbf{E}=\begin{cases} -A\rho t(a^2-\rho^2)\mathbf{u}_\varphi & \rho< a \\ \mathbf{0} & \rho > a\end{cases}$ $\mathbf{B}=\begin{cases}At^2(a^2-2\rho^2)\mathbf{u}_z & \rho < a \\ \mathbf{0} & \rho > a\end{cases}$

siendo $A$ una constante.

Compruebe que se trata de un posible campo electromagnético.
Calcule las fuentes de este campo.
Determine las densidades volumétricas de energía eléctrica, magnética, electromagnética y de potencia desarrollada por el campo.
Halle la fuerza sobre una carga puntual $\ q$ que en el instante $t = a / c$ se encuentra situada en el punto $\mathbf{r}=(a/2)\mathbf{u}_x$ y se mueve con una velocidad $\mathbf{v}=-(3c/4)\mathbf{u}_x$ (siendo $\ c$ la velocidad de la luz).