Problemas de dinámica vectorial (CMR2)

De Laplace

1 Oscilador armónico tridimensional

Una partícula se mueve en tres dimensiones de forma tal que verifica la ecuación del oscilador armónico

con y . Su posición inicial es .

1. Para el caso . ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
2. Para el caso , ¿cómo es la trayectoria? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
3. Suponga ahora que , ¿cómo es ahora la trayectoria de la partícula?
4. Demuestre que en todos los casos la cantidad calculada en coordenadas polares es constante.

2 Dos masas unidas por un muelle

Dos masas m₁ y m₂ se mueven a lo largo del eje OX unidas por un resorte de constante k y longitud natura . Inicialmente las dos masas se encuentran en reposo en x₁₀ = 0 y . Entonces se le comunica a la masa m₁ una velocidad v₀ en el sentido positivo del eje.

1. Determine dos constantes de movimiento.
2. Calcule la posición de cada una de las masas como función del tiempo. Sugerencia: realice el cambio de variables x_G = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂), .

3 Dos masas unidas por un oscilador armónico

Suponga que en el problema “Oscilador armónico tridimensional” en lugar de una sola partícula tenemos dos, de masas m₁ y m₂, unidas por un resorte de constante k y longitud natural nula. Inicialmente la masa 1 se halla en reposo en el origen de coordenadas y la masa 2 se encuentra en moviéndose con velocidad .

1. Demuestre que el centro de masas de las dos partículas describe un movimiento rectilíneo y uniforme.
2. Considerando la posición de cada partícula respecto al CM, determine la posición de cada una de ellas como función del tiempo.

4 Movimiento a partir de una fuerza conocida

Una partícula material de masa m parte del origen de coordenadas con velocidad , encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición

siendo la posición instantánea de la partícula, y A, B y C constantes positivas conocidas.

Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, t.

5 Doble máquina de Atwood

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento). Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.