Primera convocatoria 2017/18 (F2GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:55 14 jul 2018; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Fuerza eléctrica en sistema de cuatro cargas puntuales

Dos cargas eléctricas puntuales idénticas de valor

Q

, ocupan sendos puntos

A

y

C

que, en un sistema de referencia $OXYZ$, tienen coordenadas cartesianas

A (a,0,0)

y

C ( - a,0,0)

. Otras dos cargas idénticas entre sí y de valor

q

, ocupan los puntos

B

y

D

del eje

O Y

, cuyas coordenadas cartesianas son

B (0, b,0)

y

D (0, - b,0)

. La geometría

del sistema es tal que la distancia que separa dos carta contiguas es

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|=\left(a^2+b^2\right)^{1/2}=2 \sqrt{ab}$

No existen más cargas eléctricas, a parte de las cuatro que constituyen el sistema descrito.

¿Qué relación deben verificar la cantidades de $Q$ y $q$ de las respectivas cargas puntuales descritas en el sistema para que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga que ocupa el punto $A$ sea nula, $\vec{F}_e(Q;A)=\vec{0}$ ?
En las condiciones del apartado anterior, ¿cómo es la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre cada una de las otras tres cargas?

2 Campo eléctrico de distribución volumétrica de carga con simetría radial

En una esfera

τ 0

de radio

R 0

y centro en

O

, existe una distribución no uniforme de carga eléctrica negativa descrita por una densidad volumétrica radial

ρ e (r)

, respecto del punto

O

, de manera que

r

es la distancia desde dicho centro al punto

P

donde se mide la densidad de carga. Dicha distribución es tal que si consideramos una región esférica

τ

con centro en

O

y radio $r\leq R_0$ , la cantidad parcial de carga contenida en

τ

es $Q_\tau=-Q_0\!\ (r/R_0)^2=Q_\tau(r)$ . No hay más cargas en el sistema.

¿Cómo es la componente radial del campo eléctrico $E (r)$ creado por la distribución descrita, tanto dentro como fuera de la esfera $τ 0$ ?
¿Cómo es el potencial electrostático creado por la distribución en el exterior de $τ 0$ ? ¿Cuánto vale el potencial en el centro $O$ ?

3 Potencial en sistema de conductores planos con medio inhomogéneo

Dos cuerpos conductores,

C 1

y

C 2

, presentan sendas superficies planas, perpendiculares al eje

O X

, que coinciden con los planos geométricos

Π 1 : x = 0

y con

Π 2 : x = 2 a

. La distancia de separación,

2 a

, es significativamente menor que las dimensiones de los planos conductores. La región correspondiente a

0 < x < a

está ocupada por un dieléctrico lineal de constante dieléctrica

κ

, mientras que la comprendida en el intervalo

a < x < 2 a

está rellena de aire. El conductor

C 1

está conectado a un generador cuya f.e.m. tiene un valor constante

V 0

, y el

C 2

a tierra. Esta diferencia de potencial entre los conductores determina la presencia de un campo eléctrico en la región dieléctrica que los separa, y cuya expresión es:

$\vec{E}(x,y,z)=\left\{ \begin{array} {l} \displaystyle \frac{E_0}{\kappa}\, \vec{\imath}\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{si}\;\; 0<x<a \\ \\ \\ \displaystyle E_0\ \vec{\imath}\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{si}\;\; a<x<2a \end{array}\right.$

¿Cómo son las superficies equipotenciales entre los dos conductores? Indique de qué forma varía el valor del potencial de dichas superficies.
¿Qué relación existe entre los valores $V 0$ y $E 0$ ? Obtenga la función $V (x)$ que describe cómo es el valor del potencial en la región $0\leq x\leq a$ (dieléctrico lineal), y en $a\leq x\leq 2a$ (aire).