Campo magnético de corrientes estacionarias
De Laplace
(→El potencial vector magnético) |
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magnéticos, ya que | magnéticos, ya que | ||
| - | <math>\Phi_m = \int_S \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_\Gamma \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | + | <center><math>\Phi_m = \int_S \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_\Gamma \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}</math></center> |
| - | siendo <math>S</math> una superficie apoyada en | + | siendo <math>S</math> una superficie apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha. |
==Desarrollo multipolar magnético. Dipolo magnético== | ==Desarrollo multipolar magnético. Dipolo magnético== | ||
Revisión de 13:46 21 mar 2009
Contenido |
1 Fuerza sobre una carga en movimiento
Se ve en electrostática que una carga puntual en reposo experimenta una fuerza 
. Si esta carga se encuentra en movimiento, debemos añadir una fuerza adicional, proporcional a la velocidad y ortogonal a ella, de acuerdo con la ley de Lorentz
A esta fuerza adicional se la denomina fuerza magnética, y al campo vectorial 
, que da la magnitud de esta fuerza, se lo denomina campo magnético (también conocido como inducción magnética y como densidad de flujo magnético).
El campo magnético se mide en el SI en Teslas (T), siendo 1 T = 1 N/A·m. Un Tesla es una cantidad grande para los valores usuales, por lo que con frecuencia se usa como unidad el Gauss (1 Gauss = 0.0001 T).
La fuerza sobre una carga en movimiento puede extenderse a un conjunto de ellas, que formarán una densidad de corriente. Para el caso de una densidad 
, la fuerza magnética es
y análogamente se tiene la fuerza sobre una distribución de corriente superficial y sobre un conductor filiforme.
Si tenemos un conjunto de distribuciones, la resultante será la suma de la fuerza sobre cada una de ellas.
2 Campo magnético debido a una corriente
Los campos magnéticos pueden tener distintas causas. Entre ellas, se encuentran las propias corrientes eléctricas.
El campo magnético creado por una carga puntual en movimiento a velocidades bajas (comparadas con la de la luz) vale aproximadamente
siendo 
la posición instantánea de la carga. μ0 es una constante denominada permeabilidad del vacío, cuyo valor en el SI es 
.
El campo magnético creado por una distribuciónde corriente lineal puede calcularse integrando la expresión anterior. Para el caso de una corriente estacionario la aproximación se convierte en una igualdad y el campo magnético viene dado por la ley de Biot y Savart
Un caso particular importante es el del hilo rectilíneo infinito que produce un campo
Este campo gira en torno al hilo, siendo circunferencias sus líneas de campo
También es importante el campo debido a una espira circular, que en los puntos de su eje vale
Este campo apunta en la dirección del eje de la espira, siendo máximo, con un valor μ0I / 2R en su centro.
De forma análoga al caso de la corriente lineal tenemos el campo creado por una distribución de corriente estacionaria volumétrica y por una superficial
En estas expresiones las densidades de corriente son funciones de la posición, 
,
.
3 Fuentes del campo magnético
3.1 Ley de Gauss para el campo magnético
A partir de la ley de Biot y Savart pueden determinarse las fuentes escalares y vectoriales de los campos magnéticos creados por corrientes estacionarias. Para las fuentes escalares, tenemos, en forma integral
y en forma diferencial, aplicando el teorema de Gauss,
En sus dos formas, esta ley expresa la ausencia de fuentes escalares magnéticas, esto es, el campo debido a corrientes eléctricas estacionarias nunca produce el efecto de una carga magnética aislada (monopolo).
Esta ley es aplicable no sólo al caso de corrientes estacionarias, sino que se ha comprobado su validez en cualquier situación, esto es, no se han descubierto monopolos magnéticos.
Asociada a esta ley existe una condición de salto para el campo magnético en una interfaz entre dos regiones
![\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{B}]=0](/wiki/images/math/a/7/c/a7c1b1fa7de15ce1ab4d527595188456.png)
que expresa que la componente normal del campo magnético alcanza el mismo valor en sendos lados de una frontera.
3.2 Ley de Ampère
Tomando el rotacional en la ley de Biot y Savart se obtiene la ley de Ampère en forma diferencial
y, por aplicación del teorema de Stokes, en forma integral
que, en palabras, expresa que la circulación del campo magnético de corrientes estacionarias a lo largo de una curva cerrada Γ es igual a la permeabilidad del vacío multiplicada por la corriente total que atraviesa una superficie arbitraria apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha.
Asociada a la ley de Ampère se encuentra la condición de salto
![\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=\mu_0\mathbf{K}](/wiki/images/math/a/3/9/a396b6021f5168cdc941f9d6d3353db1.png)
que nos da la discontinuidad en las componentes tangenciales del campo magnético como función de la densidad de corriente superficial.
La ley de Ampère implica que el campo magnético, a diferencia del electrostático, sí tiene fuentes vectoriales, dadas por las densidades de corriente. Geómetricamente, significa que las líneas de campo magnético tenderán a girar alrededor de las líneas de corriente.
4 El potencial vector magnético
De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede expresarse como el rotacional de otro campo vectorial, llamado potencial vector magnético
El potencial vector de un campo magnético dado no es único, ya que siempre se le puede sumar un gradiente de un campo escalar arbitrario.
Cuando se impone la condición adicional 
, el potencial vector verifica la ecuación de Poisson vectorial
entre cuyas soluciones se encuentra
con expresiones análogas para corrientes superficiales y lineales.
El potencial vector posee poca utilidad práctica, aunque sí tiene importancia teórica y es útil a la hora de calcular flujos magnéticos, ya que
siendo S una superficie apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha.
