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Cálculo de divergencias y rotacionales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Solución)
(→Campo <math>D</math>)
Línea 138: Línea 138:
===Campo <math>D</math>===
===Campo <math>D</math>===
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Por último, para el campo
Por último, para el campo
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\mathbf{D} =
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<center><math>\mathbf{D} =
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\rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\sen\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}
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\rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}</math></center>
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calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.
calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.
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\nabla{\cdot}\mathbf{D} =  = 3\rho\cos\varphi +\rho\cos\varphi = 4\rho\cos\varphi
+
<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{D} =  = 3\rho\cos\varphi +\rho\cos\varphi = 4\rho\cos\varphi</math></center>
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\[
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\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\dete{\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr \frac{\partial \ }{\partial \rho} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \frac{\partial \ }{\partial z} \cr & &
\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\dete{\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr \frac{\partial \ }{\partial \rho} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \frac{\partial \ }{\partial z} \cr & &
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\rho^2\cos\varphi & \rho^3\sen\varphi & 0} = 4\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{z}
+
\rho^2\cos\varphi & \rho^3\mathrm{sen}\varphi & 0} = 4\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{z}
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Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema
Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema
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\mathbf{D} =
+
<center><math>\mathbf{D} =
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\rho^2\cos\varphi(\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\sen\varphi\mathbf{u}_{y})+\rho^2\sen\varphi\left(-\sen\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y}\right)=
+
\rho^2\cos\varphi(\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y})+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\left(-\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y}\right)=
-
=\left(x^2-y^2\right)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}
+
=\left(x^2-y^2\right)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}</math></center>
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y calculamos su divergencia
y calculamos su divergencia
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\nabla{\cdot}\mathbf{D} = 2x+2x = 4x
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<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{D} = 2x+2x = 4x</math></center>
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y su rotacional
y su rotacional
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\nabla\times\mathbf{D} =  \dete{\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr
\nabla\times\mathbf{D} =  \dete{\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr
  \frac{\partial \ }{\partial x} &\frac{\partial \ }{\partial x} & \frac{\partial \ }{\partial x} \cr && \cr x^2-y^2 & 2xy & 0}= 4y\mathbf{u}_{z}
  \frac{\partial \ }{\partial x} &\frac{\partial \ }{\partial x} & \frac{\partial \ }{\partial x} \cr && \cr x^2-y^2 & 2xy & 0}= 4y\mathbf{u}_{z}
\]
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Para pasar a esféricas, primero expresamos $\mathbf{D}$ en sus componentes
+
 
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cartesianas
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Para pasar a esféricas, primero expresamos <math>\mathbf{D}</math> en sus componentes cartesianas
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\mathbf{D}=(x^2-y^2)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}%=\]\[
+
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=r^2\sen^2\theta\cos(2\varphi)\mathbf{u}_{x}+ r^2\sen^2\theta\sen(2\varphi)\mathbf{u}_{y}
+
<math>\mathbf{D}=(x^2-y^2)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}%=\]\[
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=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos(2\varphi)\mathbf{u}_{x}+ r^2\mathrm{sen}^2\thetaº,\mathrm{sen}(2\varphi)\mathbf{u}_{y}</math></center>
 +
 
A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas
A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas
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\ba
+
 
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A_r& = & \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{r}=r^2\sen^3\theta\cos\varphi
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<center><math>A_r = \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{r}=r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi</math>{{quuad}}
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<math>A_\theta = \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\theta}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi</math>{{qquad}}
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A_\theta & = &
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<math>A_\varphi & = & \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\varphi</math></center>
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\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\theta}=r^2\sen^2\theta\cos\theta\cos\varphi
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Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia
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A_\varphi & = &
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\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}=r^2\sen^2\theta\sen\varphi
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<center><math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2 A_r\right)=4r\,\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi</math>{{qquad}}
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<math>\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\theta
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Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la
+
A_\theta\right)=r\cos\varphi(3\,\mathrm{sen}\theta\cos^2\theta-\mathrm{sen}^3\theta)</math>{{qquad}}
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divergencia
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<math>\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \varphi}(A_\varphi)=r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi</math></center>
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\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2 A_r\right)=4r\sen^3\theta\cos\varphi
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\]\[
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\frac{1}{r\sen\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\sen\theta
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A_\theta\right)=r\cos\varphi(3\sen\theta\cos^2\theta-\sen^3\theta)
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\frac{1}{r\sen\theta}\frac{\partial \ }{\partial \varphi}(A_\varphi)=r\sen\theta\cos\varphi
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y, por último, sumamos
y, por último, sumamos
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\nabla{\cdot}\mathbf{A}=4r\sen\theta\cos\varphi
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<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{A}=4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi</math></center>
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Para el rotacional
Para el rotacional
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\nabla\times\mathbf{A}=%\]\[=
\nabla\times\mathbf{A}=%\]\[=
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\frac{1}{r^2\sen\theta}\dete{
+
\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\dete{
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\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\sen\theta\mathbf{u}_{\varphi} \cr & & \cr
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\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \cr & & \cr
\frac{\partial \ }{\partial r} & \frac{\partial \ }{\partial \theta} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} \cr & & \cr
\frac{\partial \ }{\partial r} & \frac{\partial \ }{\partial \theta} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} \cr & & \cr
-
r^2\sen^3\theta\cos\varphi & r^3\sen^2\theta\cos\theta\cos\varphi &
+
r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi &
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r^3\sen^3\theta\sen\varphi}=
+
r^3\mathrm{sen}^3\theta\,\mathrm{sen}\varphi}=
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\[
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=4r\sen\theta\cos\theta\sen\varphi\mathbf{u}_{r}-4r\sen^2\theta\sen\varphi\mathbf{u}_{\theta}
+
=4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{r}-4r\,\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\theta}
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Teniendo en cuenta que
Teniendo en cuenta que
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y=\rho\sen\varphi=r\sen\theta\sen\varphi \qquad
+
<center><math>y=\rho\,\mathrm{sen}\,\varphi=r\,\mathrm{sen}\theta\,\mathrm{sen}\varphi</math>{{qquad}}
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%\]\[
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<math>\mathbf{u}_{z}=\cos\theta\mathbf{u}_{r}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}</math></center>
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\mathbf{u}_{z}=\cos\theta\mathbf{u}_{r}-\sen\theta\mathbf{u}_{\theta}
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+
puede verse que los tres resultados son coincidentes.
puede verse que los tres resultados son coincidentes.
[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]
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Revisión de 16:59 23 sep 2008

Contenido

1 Enunciado

Para los campos vectoriales

  1. \mathbf{A} = \mathbf{r}\,
  2. \mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,
  3. \mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,
  4. \mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?

2 Solución

2.1 Campo A

2.1.1 Divergencia

La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} = 3

Para este mismo campo, en cilíndricas, sustituyendo la expresión de \mathbf{r} dada en otro problema

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho^2}{\partial \rho}+\frac{\partial z}{\partial z} = \frac{2\rho}{\rho}+1 = 3

y, en esféricas,

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^3)}{\partial r}= 3

2.1.2 Rotacional

Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

\nabla\times\mathbf{A} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ x & y & z \end{matrix}\right| = 0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+0\mathbf{u}_{z}=\mathbf{0}

en cilíndricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ \rho & 0 & z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r & 0 & 0\end{matrix}\right| = \mathbf{0}

Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.

2.2 Campo B

2.2.1 Divergencia

Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = \frac{\partial (-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial 0}{\partial z}=0

En cilíndricas este campo se escribe

\mathbf{B} = -\rho\,\mathrm{sen}\varphi\mathbf{u}_{x}+\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{y}=\rho\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial \varphi}+0 = 0

En esféricas el campo es

\mathbf{B} = r \,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+0+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\right)}{\partial \varphi} = 0

2.2.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas,

\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -y & x & 0\end{matrix}\right|= 0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+2\mathbf{u}_{z}=2\mathbf{u}_{z}

En cilíndricas

\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ 0 & \rho^2 & 0\end{matrix}\right|= 2\mathbf{u}_{z}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ 0 & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right|= 2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}

De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.

2.3 Campo C

2.3.1 Divergencia

Para el tercer campo, la divergencia en cartesianas

\nabla{\cdot}\mathbf{C} = -1-1+2 = 0

En cilíndricas, aplicando los resultados del problema de cálculo de gradientes

\mathbf{C} = -\rho\mathbf{u}_{\rho}+2z\mathbf{u}_{z}

y el cálculo de la divergencia da

\nabla{\cdot}\mathbf{C} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \left(\rho^2\right)}{\partial \rho}+\frac{\partial (2z)}{\partial z}= -2 + 2 = 0

y en esféricas

\mathbf{C} = r(3\cos^2\theta-1)\mathbf{u}_{r}-3r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\mathbf{u}_{\theta}


\nabla{\cdot}\mathbf{C} = 3(3\cos^2\theta-1)-3(\mathrm{sen}^2\theta-2\cos^2\theta)=0

2.3.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas

\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -x & -y & 2z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

En cilíndricas

\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -\rho & 0 & 2z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r(3\cos^2\theta-1) & -3r^2\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta & 0\end{matrix}\right|= \mathbf{0}


2.4 Campo D

Por último, para el campo

\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.

\nabla{\cdot}\mathbf{D} = = 3\rho\cos\varphi +\rho\cos\varphi = 4\rho\cos\varphi

\[ \nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\dete{\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr \frac{\partial \ }{\partial \rho} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \frac{\partial \ }{\partial z} \cr & & \rho^2\cos\varphi & \rho^3\mathrm{sen}\varphi & 0} = 4\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{z} \]

Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema

\mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi(\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y})+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\left(-\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y}\right)= =\left(x^2-y^2\right)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}

y calculamos su divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{D} = 2x+2x = 4x

y su rotacional

\[ \nabla\times\mathbf{D} = \dete{\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr 

\frac{\partial \ }{\partial x} &\frac{\partial \ }{\partial x} & \frac{\partial \ }{\partial x} \cr && \cr x^2-y^2 & 2xy & 0}= 4y\mathbf{u}_{z}

\]

Para pasar a esféricas, primero expresamos \mathbf{D} en sus componentes cartesianas

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \mathbf{D}=(x^2-y^2)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}%=\]\[ =r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos(2\varphi)\mathbf{u}_{x}+ r^2\mathrm{sen}^2\thetaº,\mathrm{sen}(2\varphi)\mathbf{u}_{y}

A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas

A_r = \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{r}=r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphiPlantilla:Quuad

A_\theta = \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\theta}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi     No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): A_\varphi & = & \mathbf{A}{\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\varphi

Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia

\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2 A_r\right)=4r\,\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi    

\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\theta A_\theta\right)=r\cos\varphi(3\,\mathrm{sen}\theta\cos^2\theta-\mathrm{sen}^3\theta)    

\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \varphi}(A_\varphi)=r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi

y, por último, sumamos

\nabla{\cdot}\mathbf{A}=4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi

Para el rotacional

\[ \nabla\times\mathbf{A}=%\]\[= \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\dete{ \mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \cr & & \cr \frac{\partial \ }{\partial r} & \frac{\partial \ }{\partial \theta} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} \cr & & \cr r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^3\theta\,\mathrm{sen}\varphi}= \] \[ =4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{r}-4r\,\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\theta} \]

Teniendo en cuenta que

y=\rho\,\mathrm{sen}\,\varphi=r\,\mathrm{sen}\theta\,\mathrm{sen}\varphi     \mathbf{u}_{z}=\cos\theta\mathbf{u}_{r}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}

puede verse que los tres resultados son coincidentes.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_divergencias_y_rotacionales"

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