Problemas de fundamentos matemáticos

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Revisión de 08:46 23 sep 2008

Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

$\mathbf{A} = \mathbf{r}\,$
$\mathbf{B} = -\dfrac{y}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{x}+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{y}$
$\mathbf{C} = 2\rho z\mathbf{u}_{\rho}-(\rho^2-z^2)\mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{D}=r\tan\theta\,\mathbf{u}_{\theta}$

Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

donde $\mathbf{A}$ es un vector constante y $\mathbf{r}$ es el vector de posición.

Para los campos escalares

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Si $\phi = \phi(u)\,$ , con $u = u(\mathbf{r})$ , demuestre que

$\nabla \phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u} \nabla u$

Encuentre $\nabla \phi$ si

@@ Línea 22: / Línea 22: @@
 # <math>\phi=\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r}+r^2\,</math>
 # <math>\phi= r^2/(\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{r})</math>
-# <math>\phi = x^2 + y^2</math>
+# <math>\phi = x^2 + y^2\,</math>
 # <math>\phi = \arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)</math>
 # <math>\phi= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>
 donde <math>\mathbf{A}</math> es un vector constante y <math>\mathbf{r}</math> es el vector de posición.
+==[[Cálculo de gradientes]]==
+Para los campos escalares
+# <math>\phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,</math>
+# <math>\phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,</math>
+calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
+==[[Regla de la cadena para gradientes]]==
+Si <math>\phi = \phi(u)\,</math>, con <math>u = u(\mathbf{r})</math>, demuestre que
+<center><math>\nabla \phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u} \nabla u</math></center>
+Encuentre <math>\nabla \phi</math> si
+# <math>\phi=\ln|\mathbf{r}|\,</math>
+# <math>\phi =r^n\,</math>
+# <math>\phi=\frac{1}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}_0|}</math>
 [[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]]