Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)

De Laplace

Revisión de 16:58 24 oct 2011

1 Caída libre de un cuerpo

Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caída de un cuerpo pequeño, como puede ser una gota de lluvia.

1. Inicialmente consideramos despreciable el rozamiento. Si tenemos una gota de agua de radio 0.50 mm que cae verticalmente, partiendo del reposo desde una altura h = 2 km, ¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impacta? Suponga g = 9.81 m/s².
2. Para este mismo caso ideal, determine la energía cinética, potencial y mecánica en el punto inicial y el punto final del movimiento, así como para una altura z arbitraria.
3. Un cuerpo pequeño inmerso en un fluido experimenta una fuerza de fricción viscosa de la forma siendo γ una constante de fricción que para una esfera en aire es de valor con R el radio de la partícula. Si se incluye esta fuerza, ¿qué ecuación diferencial resulta para la velocidad vertical?
4. Razone que, partiendo de la ecuación anterior, se llega a que la velocidad tiende a un valor límite.
5. Si prácticamente toda la caída de la gota se produce a la velocidad límite, ¿con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tarda en caer? ¿Cuánta energía mecánica se pierde por el camino?
6. Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como función del tiempo

2 Tensión de un péndulo

Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa m y longitud l₀ pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo θ₀ con el que se separa de la vertical.

Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical.

3 Partícula sometida a fuerza magnética

Sea una partícula con carga q y masa m sometida exclusivamente a un campo magnético uniforme y constante, de forma que experimenta la fuerza

Suponga que la partícula posee una velocidad inicial

1. Demuestre que la energía cinética de la partícula es una integral primera.
2. Demuestre que el producto es también una constante de movimiento.
3. De acuerdo con lo anterior, ¿es una integral primera?
4. Suponga que y P₂ = 0, ¿qué representa en términos de la velocidad inicial? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula en este caso?
5. Suponga ahora P₁ = 0 y ,
   1. ¿A qué tipo de velocidad inicial corresponde?
   2. Demuestre que en este caso la trayectoria es plana.
   3. Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

4 Caída a lo largo de una hélice

Una pequeña anilla de masa m esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio A cuyas vueltas están inclinadas un ángulo α. El eje de la hélice está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura z = h. Cuando se encuentra en z = 0, ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la anilla sobre la hélice?

5 Cálculo de energías potenciales

Para las siguientes fuerzas, consideradas en una dimensión

• Peso: F = − mg
• Elástica: F = − k(x − l₀)
• Gravitatoria: F = − GMm / x²

1. Determine la energía potencial de la que deriva cada una.
2. Trace las curvas de potencial para las tres fuerzas.
3. Considere el caso de una partícula sometida simultáneamente a una fuerza elástica y al peso, ¿cuál es la energía potencial como función de la posición? ¿Qué forma tiene su curva de potencial? ¿Qué movimiento describe una partícula sometida a estas dos fuerzas a la vez?
4. Para el caso de la fuerza gravitatoria, calcule la velocidad de escape, definida como aquella que partiendo de la superficie de un planeta, permite llegar al infinito con velocidad nula.

6 Partícula sometida a fuerza dependiente de una coordenada

Una partícula material de masa m parte del origen de coordenadas con velocidad , encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición

siendo la posición instantánea de la partícula, y A y B dos constantes positivas conocidas.

1. Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, t.
2. Demuestre que

es una integral primera del movimiento de la partícula y calcule su valor en todo instante. ¿Qué significado físico tiene esta cantidad?

7 Movimiento rectilíneo por tramos

Una partícula de masa m, realiza un movimiento rectilíneo sobre la parte positiva de un eje cartesiano OX. Cuando la distancia entre la partícula y el origen O supera una cierta longitud b conocida, la partícula es atraída hacia O por una fuerza de módulo mk / x² (siendo k una constante); pero, sin embargo, cuando x < b, la partícula es repelida desde O por una fuerza de módulo mbk / x³.

1. Determine y represente gráficamente la energía potencial de la partícula en función de su coordenada x (considerando que dicha función es nula en el infinito y exigiendo su continuidad en x = b).
2. Sabiendo que la partícula inicia su movimiento desde el reposo instantáneo en el punto P₀ de coordenada x = 2b, determine su energía mecánica.
3. ¿En qué otro punto alcanzará la partícula el reposo instantáneo (punto de retorno)? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar desde x = b hasta dicho punto?

8 Partícula en el interior de un aro

Se tiene un aro circular de radio R situado verticalmente. Determine la velocidad que debe comunicarse a una partícula de masa m situada en el punto más bajo del aro para que sea capaz de llegar hasta el punto más alto si la partícula es:

1. Una anilla ensartada en el aro
2. Una bolita que desliza por el interior del aro, sin estar unida a él.

Calcule la reacción que ejerce el aro sobre la partícula en el punto más bajo y en el más alto, para los dos casos anteriores. Desprecie el rozamiento en todos los casos.

9 Partícula sujeta de dos hilos

Una masa m = 10 kg cuelga inicialmente de un hilo de 50 cm de longitud sujeto del techo a una distancia de 80 cm de la pared más cercana. Para evitar que el primer hilo se rompa, se afianza la masa sujetándola con un hilo adicional de 50 cm atado horizontalmente a la pared. Determine la tensión de cada hilo. ¿Ha aumentado o disminuido la tensión del hilo original?

10 Oscilador armónico en el plano

Una partícula de masa m se encuentra sujeta a un resorte de constante k y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

        

1. Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas O y la energía mecánica de la partícula en función de x, y, z y sus derivadas temporales, , y .
2. Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
3. Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto O es constante.

11 Equilibrio de partícula en hélice

Una partícula de masa m se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte elástico de constante k y longitud natural nula anclado en el origen de coordenadas. La partícula está ensartada en la hélice de ecuaciones , , z = bθ / (2π).

1. Determine la posición de equilibrio de la partícula sobre la hélice.
2. Calcule la fuerza de reacción vincular que ejerce la hélice sobre la partícula en la posición de equilibrio.
3. Determine la energía potencial como función del parámetro θ y discuta la estabilidad de la posición de equilibrio.

12 Equilibrio de partícula en parábola

Una partícula de masa m se encuentra sometida simultáneamente a su peso y la fuerza atractiva de un resorte de constante k y longitud natural nula anclado en el punto . La partícula está ensartada en la parábola y = 0, z = x² / (2b).

1. Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
2. Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
3. Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada x y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.

13 Muelle en plano inclinado

Una partícula de masa m se halla inicialmente en reposo a una altura h (punto O). La partícula comienza a deslizar sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo α = π/6 rad, bajo la acción de su propio peso y manteniéndose conectada con el punto O mediante un resorte de constante k y longitud natural nula.

1. ¿Qué distancia recorre la partícula hasta que se para por primera vez?
2. Cuando la partícula se encuentra a una distancia s de O, ¿cuánto vale el módulo de la fuerza de reacción vincular?

14 Partícula en el interior de un tubo

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular ω constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

        

donde ρ = ρ(t), función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

1. Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer ρ(t) sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
2. Compruebe que ρ(t) = Ae^ωt es una solución de dicha ecuación diferencial.
3. Para esta solución particular
   1. Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   2. Halle la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula.
   3. Calcule el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de ρ = b a ρ = 2b.
   4. Evalúe el incremento de energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y compruebe que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

15 Movimiento bajo fuerza central en polares

Sea una partícula P de masa m cuyo movimiento en el plano OXY se describe mediante coordenadas polares.

1. Deduzca la expresión de su velocidad areolar respecto al origen de coordenadas O, y compruebe que la misma es constante en el tiempo si y sólo si el movimiento transcurre bajo la acción de una fuerza central en O.
2. Sabiendo que la partícula recorre la espiral ρ = ρ₀e^θ sometida a una fuerza central en O y con condiciones iniciales θ(0) = 0 y , determine las ecuaciones horarias ρ = ρ(t) y θ = θ(t), así como el valor de dicha fuerza en función de la coordenada radial .

16 Problemas adicionales

16.1 Partícula que desliza sobre una esfera

Una partícula P, de masa m, es abandonada en reposo en el punto más alto de una esfera de radio R que descansa apoyada en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determine el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.

16.2 Efecto de la rotación en la gravedad aparente

Estudie la influencia del movimiento de rotación propia de la Tierra sobre el peso aparente de un objeto próximo a su superficie en función de la latitud λ. Si la aceleración de caída libre de un objeto a nivel del mar medida respecto a la superficie terrestre vale 9.78 m/s² en el ecuador, ¿cuánto vale allí la aceleración de la gravedad?