Problemas de introducción a la dinámica
De Laplace
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| + | Un tubo delgado, hueco y de masa despreciable, está situado en el plano horizontal <math>OXY</math> pudiendo rotar libremente y sin rozamiento alrededor del eje fijo (eje <math>OZ</math>) que pasa por su punto medio (punto O). En el interior del tubo se halla una partícula <math>P</math>, de masa <math>m</math>, que es atraída hacia el punto <math>O</math> con una fuerza directamente proporcional a la distancia entre <math>P</math> y <math>O</math> (con constante de proporcionalidad <math>k</math>) Suponiendo que todos los contactos son lisos, y utilizando las coordenadas polares \rho y \theta, así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, se pide: | ||
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| + | # Escribir las ecuaciones dinámicas de la partíıcula (Segunda Ley de Newton proyectada en las direcciones radial y acimutal) en el sistema inercial <math>OXY</math> y en el sistema no inercial solidario con el tubo. | ||
| + | # Se hace rotar el tubo con velocidad angular constante <math>\omega_0</math>. Determina que inecuación debe verificar \omega_0 respecto a m y k para que el movimiento de la partícula respecto al tubo pueda ser armónico simple. | ||
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Revisión de 20:44 22 feb 2010
1 Partícula que impacta con un muelle
Una masa m se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica k y longitud natural l0. La masa se encuentra a una altura h relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.
- Determine la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto B).
- ¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, kmin, para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
- Suponga ahora que entre los puntos A y B hay una región de longitud d en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es μ, ¿cu´al es el nuevo valor mínimo de k en el apartado anterior?
- Supongamos que k > kmin. En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcule la velocidad con la que la partícula vuelve al punto A y la altura a la que sube por la pendiente.
- Calcule numéricamente las magnitudes pedidas si
, 
, 
, μ = 0.200, 
, 
.
2 Partícula que desliza sobre un disco
Una partícula P, de masa m, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio R que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.
3 Partícula en un tubo con muelle
Un tubo delgado, hueco y de masa despreciable, está situado en el plano horizontal OXY pudiendo rotar libremente y sin rozamiento alrededor del eje fijo (eje OZ) que pasa por su punto medio (punto O). En el interior del tubo se halla una partícula P, de masa m, que es atraída hacia el punto O con una fuerza directamente proporcional a la distancia entre P y O (con constante de proporcionalidad k) Suponiendo que todos los contactos son lisos, y utilizando las coordenadas polares \rho y \theta, así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, se pide:
- Escribir las ecuaciones dinámicas de la partíıcula (Segunda Ley de Newton proyectada en las direcciones radial y acimutal) en el sistema inercial OXY y en el sistema no inercial solidario con el tubo.
- Se hace rotar el tubo con velocidad angular constante ω0. Determina que inecuación debe verificar \omega_0 respecto a m y k para que el movimiento de la partícula respecto al tubo pueda ser armónico simple.
