Partícula que impacta con un muelle

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad de impacto
3 Constante mínima
4 Constante con rozamiento
5 Altura máxima
6 Valores numéricos

1 Enunciado

Una masa $m$ se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica $k$ y longitud natural $l 0$ . La masa se encuentra a una altura $h$ relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.

Determine la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto B).
¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, $k min$ , para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
Suponga ahora que entre los puntos A y B hay una región de longitud $d$ en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es $μ$ , ¿cu´al es el nuevo valor mínimo de $k$ en el apartado anterior?
Supongamos que $k > k min$ . En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcule la velocidad con la que la partícula vuelve al punto A y la altura a la que sube por la pendiente.
Calcule numéricamente las magnitudes pedidas si $m = 100\,\mathrm{g}$ , $h = 50.0\,\mathrm{cm}$ , $l_0 = 5.00\,\mathrm{cm}$ , $μ = 0.200$ , $d = 10.0\,\mathrm{cm}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.$ .

2 Velocidad de impacto

Cuando la partícula desciende la rampa, se ve sometida a dos fuerzas: su peso y la reacción de la superficie. Esta última es siempre perpendicular a la propia superficie y por tanto al desplazamiento de la partícula, esto es, no realiza trabajo alguno sobre ella. Por tanto, se puede aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica usando exclusivamente la energía cinética y la energía potencial gravitatoria.

$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgz_0 = \frac{1}{2}mv_A^2 + mg z_A$

La velocidad inicial y la altura final son las dos nulas, mientras que la altura inicial es $h$ por lo que

$mgh = \frac{1}{2}mv_A^2\qquad\Rightarrow\qquad v_A=\sqrt{2gh}$

Entre el punto A y el punto B la partícula no se ve sometida a fuerza alguna, por lo que su movimiento es uniforme. La velocidad en B, cuando impacta con el muelle, es la misma que en A

$v_B = v_A =\sqrt{2gh}$

3 Constante mínima

Una vez que impacta con el muelle, éste se comprime y la partícula se frena. Si el muelle es muy blando ( $k$ pequeña), el frenado es demasiado suave y la partícula llega a impactar con la pared. Si es muy rígido ( $k$ grande), la partícula rebota sin apenas comprimir el muelle.

El valor mínimo de $k$ lo da el que la elongación máxima del muelle (a la que se llega con velocidad nula), coincida con la longitud inicial del muelle, $l 0$ . Aplicando de nuevo la ley de conservación de la energía:

$\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}k_\mathrm{min}l_0^2$ $\Rightarrow$ $k_\mathrm{min}=\frac{mv_B^2}{l_0^2}=\frac{2mgh}{l_0^2}$

4 Constante con rozamiento

Cuando hay rozamiento, la velocidad con la que la partícula llega a B no es la misma que la que tenía en A, ya que por el camino se ha visto frenada. En términos energéticos, su energía cinética se ha visto modificada por el trabajo de las fuerzas no conservativas, en este caso la de rozamiento. Si tomamos como eje X el que va de A a B, la fuerza de rozamiento es

$\mathbf{F}_r = -\mu m g \mathbf{i}\,$

y el trabajo que realiza sobre una banda de anchura $d$

$W_\mathrm{nc}=\int_0^d \left(-\mu m g \mathbf{i}\right)\cdot\left(\mathrm{d}x\mathbf{i}\right)=-\mu m g d$

De aquí obtenemos la velocidad en B

$\Delta K = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 = W_\mathrm{nc}=-\mu mgd$ $\Rightarrow$ $v_B = \sqrt{v_A^2-2\mu g d}=\sqrt{2g(h-\mu d)}$

Este resultado establece un valor límite para $μ$ . Si $μ > d / h$ la partícula se vería frenada del todo en la zona de rozamiento y nunca llegaría hasta el muelle.

A partir de aquí es inmediato obtener el nuevo valor de la constante mínima, cambiando $h$ por $h - μ d$

$k'_\mathrm{min}=\frac{mv_B^2}{l_0^2}=\frac{2mg(h-\mu d)}{l_0^2}$

5 Altura máxima

Una vez que impacta con el muelle, éste se comprime hasta la máxima elongación (que será menor que $l 0$ para $k > k min$ ) y a partir de ahí vuelve a estirarse. Cuando vuelve al punto B el muelle empieza a frenarse de nuevo, pero la masa, que no está unida rígidamente a él, se separa y sale despedida con la misma velocidad $v B$ con la que entró, pero ahora en sentido opuesto.

En el camino a A, vuelve a atravesar la zona de rozamiento, reduciéndose de nuevo la energía cinética

$\Delta K = \frac{1}{2}mv_A^2-\frac{1}{2}mv_B^2 = -\mu m g d$ $\Rightarrow$ $v_A = \sqrt{2g(h-2\mu d)}$

Esto establece una nueva cota para $μ$ . Si es mayor que $h / 2 d$ la partícula no vuelve al punto A.

La altura a la que sube por la rampa la obtenemos aplicando de nuevo la conservación de la energía mecánica

$mgh' = \frac{1}{2}mv_A^2 = mg(h-2\mu d)$ $\Rightarrow$ $h'=h-2\mu d\,$

Podemos reducir este resultado a un simple balance energético, que prescinde de los pasos intermedios de energía cinética y elástica, simplemente comparando la energía mecánica inicial y la final