Partícula en un tubo con muelle

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones de movimiento
- 2.1 En el sistema móvil
- 2.2 En el sistema fijo
3 Movimiento armónico simple

1 Enunciado

Un tubo delgado, hueco y de masa despreciable, está situado en el plano horizontal $O X Y$ pudiendo rotar libremente y sin rozamiento alrededor del eje fijo (eje $O Z$ ) que pasa por su punto medio (punto O). En el interior del tubo se halla una partícula $P$ , de masa $m$ , que es atraída hacia el punto $O$ con una fuerza directamente proporcional a la distancia entre $P$ y $O$ (con constante de proporcionalidad $k$ ) Suponiendo que todos los contactos son lisos, y utilizando las coordenadas polares $ρ$ y $θ$ , así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, se pide:

Escribir las ecuaciones dinámicas de la partíıcula (Segunda Ley de Newton proyectada en las direcciones radial y acimutal) en el sistema inercial $O X Y$ y en el sistema no inercial solidario con el tubo.
Se hace rotar el tubo con velocidad angular constante $ω 0$ . Determina qué inecuación debe verificar $ω 0$ respecto a m y k para que el movimiento de la partícula respecto al tubo pueda ser armónico simple.

2 Ecuaciones de movimiento

2.1 En el sistema móvil

En un sistema que gira con la barra, la partícula realiza un movimiento unidimensional, sometida a la acción del muelle y a las fuerzas de inercia. En forma vectorial tenemos, si la barra es el sólido “0” y la partícula es el sólido 2

$m\vec{a}^P_{20} = -k\vec{r}-m\vec{a}^O_{01}-m\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}-m(\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}))-2m\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}+\vec{N}$

Veamos cada término de esta ecuación, proyectando sobre los ejes $X 0 Y 0 Z 0$

Masa por aceleración: La fuerza que mide el observador móvil es, teniendo en cuenta que la partícula se mueve a lo largo de la barra:

$m\vec{a}^P_{20}=m\ddot{\rho}\vec{\imath}_0$

Fuerza elástica: Esta es la fuerza recuperadora que el resorte ejerce sobre la partícula. Si la distancia al centro es $ρ$ , esta fuerza vale

$\vec{F}=-k\vec{r}=-k\rho\vec{\imath}_0$

Fuerza de arrastre: Está asociada a la aceleración del origen del sistema de coordenadas, que en este caso está en reposo,

$-m\vec{a}^O_{01}=\vec{0}\,$

Término de aceleración angular: la aceleración angular del sistema de referencia es

$\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\theta}\vec{k}$

por lo que la fuerza de inercia debida a esta aceleración es

$-m\vec{a}^O_{01}\times\vec{r}=-m\left(\ddot{\theta}\vec{k}\right)\times(\rho \vec{\imath}_0)=m\rho\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0$

Fuerza centrífuga: La velocidad angular del sistema de referencia es

$\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{k}$

así que la fuerza centrífuga sobre la partícula es

$-m(\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}))=-m\left(\dot{\theta}\vec{k}\times(\dot{\theta}\vec{k}\times\rho\vec{\imath}_0)\right)=m\rho\dot{\theta}^2\vec{\imath}_0$

Fuerza de Coriolis: La partícula se mueve a lo largo de la barra, por lo que su velocidad en el sistema móvil es

$\vec{v}^P_{20}=\dot{\rho}\vec{\imath}_0$

y la fuerza de Coriolis sobre la partícula es

$-2m\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=-2m(\dot{\theta}\vec{k})\times(\dot{\rho}\vec{\imath}_0)=-2m\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{\jmath}_0$

Reacción vincular: Por último, la barra ejerce una reacción vincular que irá en la dirección perpendicular a la propia barra

$\vec{N}=N\vec{\jmath}_0$

Uniendo todo esto queda

$m\ddot{\rho}\vec{\imath}_0=(m\dot{\theta}^2-k\rho)\vec{\imath}_0+(-m\rho\ddot{\theta}-2m\dot{\rho}\dot{\theta}+N)\vec{\jmath}_0$

o, separando componente a componente

Ecuación radial

$m\ddot{\rho}=m\dot{\theta}^2-k\rho$

Ecuación acimutal

$0 = -m\rho\ddot{\theta}-2m\dot{\rho}\dot{\theta}+N$

En estas ecuaciones, si el movimiento de la barra es conocido (por ejemplo, es una rotación uniforme, como en el siguiente apartado), la primera de las dos ecuaciones puede emplearse para hallar $ρ = ρ(t)$ y, una vez que se conoce, sustituir en la segunda ecuación para calcular la reacción vincular.

2.2 En el sistema fijo

La segunda ley de Newton nos dice que

$m\vec{a}=\vec{F}\,$

siendo $\vec{F}$ la resultante de las fuerzas sobre la partícula. En este caso actúan dos fuerzas sobre la partícula: la fuerza recuperadora del resorte, que es radial, y la rección vincular, que es perpendicular a la barra y por tanto acimutal.

$\vec{F}=-k\rho\vec{u}_\rho+N\vec{u}_\theta$

Escribiendo la aceleración en coordenadas polares

$\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{u}_\theta$

nos queda

$m\left((\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{u}_\theta\right)=-k\rho\vec{u}_\rho+N\vec{u}_\theta$

Separando componente a componente:

Ecuación radial

$m\ddot{\rho}-m\dot{\theta}^2=-k\rho$

Ecuación acimutal

$m\rho\ddot{\theta}+2m\dot{\rho}\dot{\theta}=N$

que son equivalentes a las anteriores.

3 Movimiento armónico simple

Si la barra describe un movimiento de rotación uniforme, entonces

$\dot{\theta}=\omega_0\qquad\qquad\ddot{\theta}=0$

lo que deja las ecuaciones como

Ecuación radial

$m\ddot{\rho}=-(k-m\omega_0^2)\rho$

Ecuación acimutal

$2m\omega_0\dot{\rho}=N$

Para que la partícula describa un movimiento armónico simple la ecuación radial debe ser la de un oscilador armónico, esto es, que haya una fuerza recuperadora, radial y hacia adentro, por lo que la condición sobre la frecuencia es que

$k - m \omega_0^2 > 0\,$ $\Rightarrow$ $\omega_0 < \sqrt{\frac{k}{m}}$

esto es, la velocidad angular debe ser menor que la frecuencia angular propia del oscilador. Para velocidad angular nula o pequeña, el resorte sigue oscilando, pero cada vez con una menor constante. Para una velocidad angular mayor que la frecuencia propia, la fuerza centrífuga domina sobre la fuerza recuperadora y la partícula sale despedida hacia afuera.

Partícula en un tubo con muelle

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2 Ecuaciones de movimiento

2.1 En el sistema móvil

2.2 En el sistema fijo

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