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Potencial vector magnético

De Laplace

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De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético
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De que el campo magnético sea [[campo solenoidal|solenoidal]] se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético
 
 
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de hecho, al demostrar la [[ley de Gauss para el campo magnético]] ya se da una expresión para este potencial vector
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Al demostrar la [[ley de Gauss para el campo magnético]] ya se da una expresión para este potencial vector
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sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible. Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria
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Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria
 
 
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siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de <math>\psi</math> hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.
siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de <math>\psi</math> hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.
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La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de \mathbf{B}.  
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==Aplicaciones==
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La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de <math>\mathbf{B}</math>.  
Sirve como herramienta en los casos en que tenemos corrientes fluyendo siempre según la misma componente. Por ejemplo, si <math>\mathbf{J} = J\mathbf{u}_z</math> podemos suponer <math>\mathbf{A} = A\mathbf{u}_z</math>. Si <math>\mathbf{J} = J(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi</math> podemos suponer <math>\mathbf{A} = A(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi</math>. En estos casos el cálculo del potencial vector se reduce a determinar una sola componente, de forma similar a como se hace con el potencial escalar del campo electrostático.
Sirve como herramienta en los casos en que tenemos corrientes fluyendo siempre según la misma componente. Por ejemplo, si <math>\mathbf{J} = J\mathbf{u}_z</math> podemos suponer <math>\mathbf{A} = A\mathbf{u}_z</math>. Si <math>\mathbf{J} = J(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi</math> podemos suponer <math>\mathbf{A} = A(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi</math>. En estos casos el cálculo del potencial vector se reduce a determinar una sola componente, de forma similar a como se hace con el potencial escalar del campo electrostático.
La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el [[desarrollo multipolar magnético]].
La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el [[desarrollo multipolar magnético]].
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El potencial vector es útil a la hora de calcular flujos magnéticos, ya que
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==El potencial vector y el campo eléctrico==
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El potencial vector magnético no solo se relaciona con el campo <math>\mathbf{B}</math>. También existe una relación con el campo eléctrico, consecuencia de la interrelación entre los campos eléctrico y magnético. En situaciones no estacionarias tenemos que dos de las [[ecuaciones de Maxwell y teorema de Poynting|ecuaciones de Maxwell]] son
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De la primera ya sabemos que se deduce la existencia del potencial vector magnético. Sustituyendo en la segunda ([[ley de Faraday]]) queda
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===Solenoide infinito===
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Para un [[campo magnético de un solenoide ideal|solenoide cilíndrico]] de radio <math>a</math> y longitud finita, el campo magnético, obtenido empleando las leyes de la magnetostática, es igual a
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La primera de las dos ecuaciones es una condición extra que siempre podemos imponer para determinar un potencial vector. La segunda ecuación nos dice que las fuentes vectoriales de <math>\mathbf{A}</math> son uniformes y en la dirección Z dentro de un cilindro de radio <math>a</math> y nulas en el exterior. Estas ecuaciones son completamente ''análogas'' a las que verifica el campo magnético respecto de la densidad de corriente en el caso de un [[Campo_magnético_de_un_cable_cilíndrico|cable grueso]]. Por ello, la expresión para el potencial vector es la ''análoga'' a la del campo magnético en ese sistema;
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<center><math>\mathbf{A}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0nI\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & (\rho<a) \\ \displaystyle\frac{\mu_0nIa^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & (\rho>a) \end{cases}</math></center>
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===Dipolo magnético===
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Para un dipolo magnético puntual <math>\mathbf{m}</math>, situado en el origen de coordenadas, el potencial vector es igual a
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Esta expresión es análoga al potencial eléctrico de un [[dipolo eléctrico]] <math>\mathbf{p}</math>
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<center><math>\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}</math></center>
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cambiando el producto escalar por el vectorial.
[[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias]]
[[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias]]

última version al 11:22 11 abr 2011

Contenido

1 Definición

De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético

\nabla\cdot\mathbf{A}   \Rightarrow   \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}

2 Expresión integral

Al demostrar la ley de Gauss para el campo magnético ya se da una expresión para este potencial vector

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'

con expresiones correspondientes para corrientes lineales o de superficie

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}        \mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{K}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}S'

Estas expresiones pueden superponerse, para una distribución compuesta de varios tipos individuales. Sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible.

3 Falta de unicidad

Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria

\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2+\nabla\psi

siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de ψ hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.

4 Aplicaciones

La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de \mathbf{B}.

Sirve como herramienta en los casos en que tenemos corrientes fluyendo siempre según la misma componente. Por ejemplo, si \mathbf{J} = J\mathbf{u}_z podemos suponer \mathbf{A} = A\mathbf{u}_z. Si \mathbf{J} = J(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi podemos suponer \mathbf{A} = A(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi. En estos casos el cálculo del potencial vector se reduce a determinar una sola componente, de forma similar a como se hace con el potencial escalar del campo electrostático. La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el desarrollo multipolar magnético.

El potencial vector es útil a la hora de calcular flujos magnéticos, ya que

\Phi_m = \int_S \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_\Gamma \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}

siendo S una superficie apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha.

5 El potencial vector y el campo eléctrico

Artículo completo: Potenciales electromagnéticos

El potencial vector magnético no solo se relaciona con el campo \mathbf{B}. También existe una relación con el campo eléctrico, consecuencia de la interrelación entre los campos eléctrico y magnético. En situaciones no estacionarias tenemos que dos de las ecuaciones de Maxwell son

\nabla\cdot\mathbf{B}=0        \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

De la primera ya sabemos que se deduce la existencia del potencial vector magnético. Sustituyendo en la segunda (ley de Faraday) queda

\nabla\times\left(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)=\mathbf{0}

y de aquí se deduce que

\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla\phi

esto es, que en situaciones no estacionarias, el campo eléctrico no deriva de un potencial escalar, sino que también incluye la derivada temporal del potencial vector magnético.

6 Ejemplos

6.1 Solenoide infinito

Para un solenoide cilíndrico de radio a y longitud finita, el campo magnético, obtenido empleando las leyes de la magnetostática, es igual a

\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}

Un potencial vector del que deriva este campo cumple las ecuaciones

\nabla\cdot\mathbf{A}=0        \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}

La primera de las dos ecuaciones es una condición extra que siempre podemos imponer para determinar un potencial vector. La segunda ecuación nos dice que las fuentes vectoriales de \mathbf{A} son uniformes y en la dirección Z dentro de un cilindro de radio a y nulas en el exterior. Estas ecuaciones son completamente análogas a las que verifica el campo magnético respecto de la densidad de corriente en el caso de un cable grueso. Por ello, la expresión para el potencial vector es la análoga a la del campo magnético en ese sistema;

\mathbf{A}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0nI\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & (\rho<a) \\ \displaystyle\frac{\mu_0nIa^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & (\rho>a) \end{cases}

6.2 Dipolo magnético

Para un dipolo magnético puntual \mathbf{m}, situado en el origen de coordenadas, el potencial vector es igual a

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}

Esta expresión es análoga al potencial eléctrico de un dipolo eléctrico \mathbf{p}

\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}

cambiando el producto escalar por el vectorial.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Potencial_vector_magn%C3%A9tico"

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