Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Problemas del primer principio de la termodinámica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Barra homogénea)
Línea 16: Línea 16:
== [[ Transformación de energía potencial gravitatoria en calor ]]==
== [[ Transformación de energía potencial gravitatoria en calor ]]==
 +
Un bloque de hielo a <math>0^o\mathrm{C}</math> se deja caer libremente desde una altura de 80 m. En el momento del choque,
 +
un 20% de la energía del bloque se transforma en calor absorbible por su masa. ¿Que parte del hielo se funde a causa de esta absorción?
 +
 +
=== Solución ===
 +
 +
Aquí tenemos una situación en que la energía mecánica se transforma en calor. Cuando el bloque está a una altura <math>h</math> sobre el
 +
suelo, tiene energía potencial gravitatoria. Al comenzar a caer esa energía potencial se va transformando en energía cinética. Y cuando
 +
choca con el suelo, una fracción <math>\lambda</math> de la energía cinética que tiene en el momento del impacto se transforma en calor
 +
absorbible por el hielo. Como éste esta a una temperatura de <math>0^o\mathrm{C}</math>, este calor absorbido se invierte en derretir
 +
una parte de la masa de hielo.
 +
 +
Vamos a llamar <math>h</math> a la altura inicial del bloque de hielo, <math>m</math> a su masa y <math>g</math> a la aceleración de la
 +
gravedad. En el momento de impactar con el suelo su energía cinética es
 +
<center>
 +
<math>
 +
E_c = mgh
 +
</math>
 +
</center>
 +
Si se absorbe una fracción <math>\lambda</math> de esa energía en forma de calor tenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
Q=\lambda mgh
 +
</math>
 +
</center>
 +
La masa de hielo que se funde es
 +
<center>
 +
<math>
 +
m_f=\frac{Q}{L_f}=\frac{\lambda mgh}{L_f}
 +
</math>
 +
</center>
 +
donde <math>L_f</math> es el calor de fusión del hielo a 1 atmósfera de presión. Entonces la fracción de masa derretida es
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{m_f}{m}=\frac{\lambda gh}{L_f}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Utilizando los datos del problema (<math>h=80\,\mathrm{m}</math>, <math>\lambda=0.02</math>) y el valor <math>L_f=80\,\mathrm{cal/g}</math>
 +
obtenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{m_f}{m}=9.44\times10^{-4}\simeq0.1\%
 +
</math>
 +
</center>
== [[ Conducción térmica en dos barras en contacto ]]==
== [[ Conducción térmica en dos barras en contacto ]]==

Revisión de 19:53 15 abr 2009

Contenido

1 Trabajo en diferentes procesos

2 Calorímetro de flujo

3 Temperatura de una llama

4 Temperatura de un vaso metálico

5 Mezcla de agua y hielo

6 Mezcla de agua y vapor

7 Mezcla de agua y hielo con bloque metálico

8 Aleación de dos metales

9 Transformación de energía potencial gravitatoria en calor

Un bloque de hielo a 0oC se deja caer libremente desde una altura de 80 m. En el momento del choque, un 20% de la energía del bloque se transforma en calor absorbible por su masa. ¿Que parte del hielo se funde a causa de esta absorción?

9.1 Solución

Aquí tenemos una situación en que la energía mecánica se transforma en calor. Cuando el bloque está a una altura h sobre el suelo, tiene energía potencial gravitatoria. Al comenzar a caer esa energía potencial se va transformando en energía cinética. Y cuando choca con el suelo, una fracción λ de la energía cinética que tiene en el momento del impacto se transforma en calor absorbible por el hielo. Como éste esta a una temperatura de 0oC, este calor absorbido se invierte en derretir una parte de la masa de hielo.

Vamos a llamar h a la altura inicial del bloque de hielo, m a su masa y g a la aceleración de la gravedad. En el momento de impactar con el suelo su energía cinética es

Ec = mgh

Si se absorbe una fracción λ de esa energía en forma de calor tenemos

Q = λmgh

La masa de hielo que se funde es

m_f=\frac{Q}{L_f}=\frac{\lambda mgh}{L_f}

donde Lf es el calor de fusión del hielo a 1 atmósfera de presión. Entonces la fracción de masa derretida es

\frac{m_f}{m}=\frac{\lambda gh}{L_f}

Utilizando los datos del problema (h=80\,\mathrm{m}, λ = 0.02) y el valor L_f=80\,\mathrm{cal/g} obtenemos

\frac{m_f}{m}=9.44\times10^{-4}\simeq0.1\%

10 Conducción térmica en dos barras en contacto

Una barra de oro está en contacto térmico con otra de plata de la misma longitud y área. Uno de los extremos de esta barra compuesta se mantiene a una temperatura de 80oC, mientras que el extremo opuesto está a 30^o\,\mathrm{C}. Cuando la transferencia de energía alcance un estado estacionario, ¿cuál será la temperatura en la unión?

Datos: conductividad térmica del oro: 314\mathrm{W/m\cdot ^oC}; conductividad térmica de la plata: 427\mathrm{W/m\cdot ^oC}

10.1 Solución

10.1.1 Barra homogénea

Examinemos primero el caso más sencillo de una barra homogénea de longitud L y conductividad térmica k sometida a temperaturas T1 y T2, con T1 > T2.

En la situación estacionaria, la potencia de energía térmica transferida desde el foco caliente al frío debe ser la misma en todos los puntos de la barra. Si no fuera así, la energía recibida en un punto de la barra desde un lado sería mayor que la que sale hacia el otro, y la temperatura variaría en el tiempo. La potencia es

{\dot{Q}}=kA\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

donde k es la conductividad del material y A el área de la superficie a través de la que se transmite la energía. Nuestro objetivo es encontrar la función T(x) que describe la distribución de temperaturas entre los focos a T1 y T2. Como la potencia \dot{Q} debe ser la misma en cada punto de la barra, debe cumplirse

\dot{Q}=\mathrm{cte}=Ak\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=a_1=\mathrm{cte}

Es decir,

\mathrm{d}T=a_1\mathrm{d}x\Rightarrow T(x)=a_1x+a_2

Las constantes a1 y a2 se determinan imponiendo que las temperaturas en los extremos de la barra deben ser T1 y T2.

\begin{array}{l} T(0)=T_1\Rightarrow a_2=T_1\\ T(L)=T_2\Rightarrow a_1L+a_2=T_2 \end{array}

De este modo la distribución de temperaturas en la barra es

T(x)=-\frac{T_1-T_2}{L}x+T_1

La temperatura varía linealmente desde la más alta hasta la mas baja. Hay que señalar que en el resultado final no aparece la conductividad térmica. Esto se debe a que la barra es homogénea.

10.1.2 Barras homogéneas en contacto

Consideremos ahora el caso del problema. Si T1 > T2, la energía fluirá desde la izquierda hacia la derecha. En condiciones estacionarias, de nuevo la potencia de energía transferida debe ser la misma en todos los puntos del sistema.

Nuestro objetivo ahora es encontrar la distribución de temperaturas T(x) en el conjunto de las dos barras. Como cada una de las dos barras tiene características físicas distintas (en concreto, la conductividad térmica), la función T(x) tendrá una expresión diferente según que estemos en una barra u otra. Escogemos el eje X como se indica en la figura. Llamando a a la barra de oro y b a la de plata tenemos

T(x) =\left\{ \begin{array}{ll} T_a(x)&0\leq x\leq L\\ T_b(x)&L\leq x\leq 2L \end{array} \right.

Partiendo de la base del apartado anterior, como cada barra es un medio homogéneo, supondremos que la distribución de temperaturas es lineal en cada barra, es decir

\begin{array}{l} T_a(x)=a_1 x + a_2\\ T_b(x)=b_1 x+ b_2 \end{array}

Tenemos cuatro constantes que hay determinar. Para encontrar cuanto valen imponemos las condiciones físicas del problema (técnicamente se llaman las condiciones de contorno)

Por un lado, las temperaturas en los extremos deben ser T1 y T2. Entonces

\begin{array}{l} T(0)=T_1\Rightarrow a_2=T_1\\ T(2L)=T_2\Rightarrow b_1 2L+ b_2=T_2 \end{array}

Por otro lado la temperatura debe variar de modo continuo al pasar de una barra a la otra. Esto impone la condición

T_a(L)=T_b(L)\Rightarrow a_1L+a_2=b_1L+b_2

Finalmente, en condiciones estacionarias la potencia transferida debe ser la misma en todos los puntos del sistema. Esta potencia es

\displaystyle \dot{Q}=kA\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}= \left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle k_aA\frac{\mathrm{d}T_a}{\mathrm{d}x}=k_aAa_1 &0\leq x\leq L\\ &\\ \displaystyle k_bA\frac{\mathrm{d}T_b}{\mathrm{d}x}=k_bAb_1 &L\leq x\leq 2L \end{array} \right.

En el punto de contacto el flujo de energía que llega por la izquierda debe ser igual al que sale por la derecha. Por tanto

\dot{Q}(L^-)=\dot{Q}(L^+)\Rightarrow k_aa_1=k_b b_1

De este modo obtenemos cuatro ecuaciones que determinan las cuatro constantes en función de los datos del problema. La solución del sistema de ecuaciones es

\begin{array}{l} \displaystyle a_1 = -\frac{k_b(T_1-T_2)}{(k_a+k_b)L}\\ \\ \displaystyle a_2 = T_1\\ \\ \displaystyle b_1 = -\frac{k_a(T_1-T_2)}{(k_a+k_b)L}\\ \\ \displaystyle b_1 = -\frac{k_aT_2-k_bT_2-2k_aT_1}{k_a+k_b}\\ \\ \end{array}

Para obtener la temperatura en el punto de contacto podemos usar Ta(x)

\displaystyle T(L) = T_a(L)=a_1L+a_2 = \frac{k_a T_1+k_bT_2}{k_a+k_b}

Podemos verificar que el resultado es razonable considerando la situación en que las dos barras tienen la misma conductividad térmica. Entonces el problema se reduciría al de la barra homogénea del apartado anterior, y la temperatura en el punto medio debería ser la media de las temperaturas en los extremos. Podemos comprobar que si ka = kb entonces obtenemos T(L) = (T1 + T2) / 2.

Sustituyendo los valores numéricos dados por el problema tenemos

T(L) = 51.2oC

11 Crecimiento de una capa de hielo

Un estanque de agua a 0oC está cubierto por una capa de hielo de 4.00 cm de espesor. Si la temperatura del aire permanece constante a -10.0oC, ¿cuánto tardará el espesor de la capa de hielo en alcanzar los 8.00 cm?

11.1 Solución

Intentemos primero comprender la física del problema. Como se indica en la figura, tenemos dos sistemas que intercambian calor, el agua líquida debajo del hielo y el aire por encima. La energía se transmite a través del hielo por conducción. Como el agua cerca del hielo tiene una temperatura mayor que la del aire, la energía fluye del agua hacia el aire. Pero el agua cerca del hielo está a una temperatura de 0oC, por lo que al ceder energía sufre un cambio de fase y se congela. Este proceso hace aumentar el grosor de la capa de hielo.

Veamos cuanto vale la potencia transferida a través del hielo. En este caso tenemos un medio homogéneo, similar a la barra homogénea del problema anterior. El papel de la longitud de la barra lo representa aquí el grosor de la capa de hielo h. Vamos a suponer que en cada instante la potencia de energía transferida es la misma en cada punto del hielo. En el problema anterior vimos que cuando el medio es homogéneo la temperatura varía linealmente. Entonces podemos hacer la aproximación

\displaystyle \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\simeq\frac{\Delta T}{h}

La potencia transferida a través del hielo es entonces

\displaystyle \dot{Q}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=k_HA\frac{\Delta T}{h}

Aquí, kH es la conductividad térmica del hielo y A es la superficie del estanque. Podemos reescribir esta expresión de modo que obtenemos la energía cedida por el agua en el intervalo de tiempo dt

\displaystyle\mathrm{d}Q=k_HA\frac{\Delta T}{h}\mathrm{d}t

Ahora bien, está energía es la que ha cedido el agua al congelarse. Suponiendo que en el intervalo de tiempo dt se congela una fila lámina de agua de grosor dh, la energía cedida por el agua es

\mathrm{d}Q=\mathrm{d}mL_f=\rho_a\mathrm{d}V\,L_f

dV es el volumen de la lámina de agua que se ha congelado. Si la superficie del estanque es A este volumen es dV = Adh. Entonces la energía cedida por el agua en el tiempo dt es

dQ = ρaALfdh

Lf es el calor latente de fusión del agua.

Ahora podemos igualar el calor transferido a través del hielo con el calor cedido por el agua en el intervalo de tiempo dt

\displaystyle \rho_a AL_f\mathrm{d}h=k_HA\frac{\Delta T}{h}\mathrm{d}t

Esta es una ecuación diferencial en variables separables que podemos escribir

\displaystyle h\mathrm{d}h=\frac{k_H\Delta T}{\rho_a L_f}\mathrm{d}t

Integrando obtenemos

\displaystyle h^2=\frac{2k_H\Delta T}{\rho_a L_f}t + C

Para calcular la constante imponemos que para t = 0 el espesor de hielo es h0. Obtenemos finalmente

\displaystyle h(t)=\sqrt{h_0^2+\frac{2k_H\Delta T}{\rho_a L_f}t}

El tiempo necesario para que el grosor pase de h0 a hf es

\displaystyle \Delta t=\frac{\rho_aL_f}{2k_H\Delta T}\left(h_f^2-h_0^2\right)

Para los datos del problema, tomando k_H=2\,\mathrm{Wm^{-1}K^{-1}} obtenemos

\displaystyle \Delta t=40\,\mathrm{s}

12 Potencia radiada por el Sol

La superficie del Sol tiene una temperatura de unos 5800 K. El radio del Sol es igual a 6.96\times10^8\,\mathrm{m}. Calcule la energía total radiada por el Sol cada segundo si la emisividad es e = 0.965. Calcule la potencia que llega a la superficie de la Tierra, si el radio de esta es R_T=6400\,\mathrm{km}, y la distancia media Tierra-Sol es D=150\times10^6\,\mathrm{km}.

12.1 Solución

La potencia emitida por una superficie irradiante es

P = σAeT4

donde T es la temperatura absoluta,e es la emisividad de la superficie, A es el área de la superficie emisora y \sigma=5.6697\times10^{-8}\,\mathrm{W/m^2K^4} es la constante de Stefan-Boltzmann.

En nuestro caso la superficie emisora es la del Sol. A partir de su radio podemos calcularla

A=4\pi R^2 = 6.09\times10^{18}\,\mathrm{m^2}

Con los dos datos del problema podemos calcular la potencia radiada por el Sol

P = 4\pi R^2\sigma e T^4=3.77\times10^{26}\,\mathrm{W}

Para calcular la fracción de esta potencia recibida por la Tierra, consideramos la esfera con centro en el Sol y de radio la distancia media entre el Sol y la Tierra. La superficie de esta esfera es

S_D = 4\pi D^2=2.83\times10^{23}\,\mathrm{m^2}

La potencia total emitida por el Sol se distribuye uniformemente sobre esta superficie. La fracción de esta potencia recibida por el Sol es igual a la fracción de la superficie que la Tierra ofrece al Sol respecto a SD. Esta fracción es

\displaystyle \lambda=\frac{\pi R_T^2}{S_D}=4.55\times10^{-10}

No aparece el factor 4 porque el Sol ve a la Tierra esencialmente como un disco plano de radio RT. Así, pues la potencia recibida por la superficie de la Tierra es

P_T =\lambda P = 1.72\times10^{17}\,\mathrm{W}

Podemos comparar esta potencia con el consumo energético medio mundial. En el año 2005 este consumo fue CEM=1.6\times10^{13}\,\mathrm{W} . Por tanto, la potencia que recibe la Tierra es

P_T\simeq10^4CEM

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_del_primer_principio_de_la_termodin%C3%A1mica"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace