Campo magnético de un cable cilíndrico

De Laplace

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1 Enunciado

calcule el campo magnético producido en todo el espacio por un cable cilíndrico de radio $a$ y longitud infinita, por el cual circula una densidad de corriente uniforme $\mathbf{J}_0 =J_0\mathbf{u}_z$ en la dirección de su eje.

2 Solución

A la hora de hallar el campo, el razonamiento es casi idéntico al empleado en el caso de un hilo infinito. Al igual que en ese sistema puede demostrarse que

Las componentes del campo magnético no dependen de la coordenada $z$ (simetría traslacional).
Las componentes del campo magnético no dependen de la coordenada $\varphi$ (simetría acimutal).
La componente $B z$ , por ser el campo magnético ortogonal a la corriente que lo crea.
La componente B_\rho es nula, como consecuencia de la ley de Gauss para el campo magnético.

Por todo ello $\mathbf{B}$ se reduce a

$\mathbf{B}=B(\rho)\mathbf{u}_\varphi$

La diferencia aparece al aplicar la ley de Ampère. Si consideramos una circunferencia $Γ$ de radio $ρ$ centrada en el cable y la cantidad de corriente $I$ que atraviesa una superficie apoyada en ella, tenemos dos casos:

2.1 Puntos exteriores al cable

Si

ρ > a

, la corriente

I

es la total del cable: $\oint_\Gamma {{\mathbf{B}}{{\cdot}}{\mathbf{r}}} = 2\pi \rho {B_\varphi } = {\mu _0}I_T = {\mu _0}{J_0}\pi {a^2}$

y de aquí

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_\varphi=\frac{\mu_0J_0a^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi$

Campo magnético de un cable cilíndrico

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Puntos exteriores al cable

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