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Introducción a la mecánica analítica (MR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Fuerzas generalizadas)
 
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En los temas anteriores hemos visto como se aplican los principios de la Mecánica Vectorial al estudio del Sólido Rígido. En Mecánica Vectorial las magnitudes que describen el movimiento del sistema son la Cantidad de Movimiento y el Momento Cinético. Y las acciones sobre un Sólido Rígido se describen utilizando fuerzas y pares de fuerzas. Todas estas magnitudes son vectores, de ahí su nombre. El Teorema del Centro de Masas y el Teorema del Momento Cinético proporcionan las ecuaciones diferenciales del movimiento. Estas ecuaciones también son vectoriales.
En los temas anteriores hemos visto como se aplican los principios de la Mecánica Vectorial al estudio del Sólido Rígido. En Mecánica Vectorial las magnitudes que describen el movimiento del sistema son la Cantidad de Movimiento y el Momento Cinético. Y las acciones sobre un Sólido Rígido se describen utilizando fuerzas y pares de fuerzas. Todas estas magnitudes son vectores, de ahí su nombre. El Teorema del Centro de Masas y el Teorema del Momento Cinético proporcionan las ecuaciones diferenciales del movimiento. Estas ecuaciones también son vectoriales.
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La Mecánica Analítica es muy potente. Permite encontrar con relativa facilidad las condiciones de equilibrio y las ecuaciones de movimiento de sistemas muy complejos. A cambio, requiere un grado mayor de abstracción en el tratamiento de los problemas.
La Mecánica Analítica es muy potente. Permite encontrar con relativa facilidad las condiciones de equilibrio y las ecuaciones de movimiento de sistemas muy complejos. A cambio, requiere un grado mayor de abstracción en el tratamiento de los problemas.
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= [[MR_09 Coordenadas generalizadas | Coordenadas generalizadas ]] =
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= Ligaduras y coordenadas generalizadas =
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=[[MR_09 Ligaduras | Ligaduras ]] =
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=[[MR_09 Desplazamientos virtuales | Desplazamientos virtuales]] =
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== Partícula puntual ==
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[[Archivo:MR_09_01.png|right]]
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Consideremos el sistema mecánico mas sencillo posible: un partícula puntual libre de masa <math>m</math>. Usando coordenadas cartesianas la posición de la partícula en cada instante de tiempo puede describirse usando su vector de posición respecto a un cierto sistema de ejes coordenados:
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\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{\imath} + y(t)\,\vec{\jmath} + z(t)\,\vec{k}.
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Que la partícula sea libre significa que las tres coordenadas <math>\{x, y, z\}</math> pueden tomar cualquier valor independientemente de las otras. Entonces, no hay ningún movimiento prohibido para la partícula, como se indica en la figura.
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El número de grados de libertad es 3.
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[[Archivo:MR_09_02.png|right]]
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Supongamos ahora que la partícula está obligada a moverse en el eje <math>OX</math>.Podemos imaginar que la partícula es una cuenta engarzada en un alambre recto y hacemos coincidir el eje <math>OX</math> con el alambre.  Esto significa que, no importa la fuerza que ejerzamos sobre la partícula, esta no puede salirse del hilo.  Cualquier movimiento que la saque del hilo está prohibido. Se dice entonces que la partícula está '''vinculada''' o '''ligada'''.
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Entonces, no necesitamos las tres coordenadas cartesianas para determinar la posición de la partícula. Sabemos que se cumplirá siempre <math>y(t)=0</math> y <math>z(t)=0</math>: estas condiciones se llaman '''ligaduras''' o '''vínculos'''.
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La partícula tiene un grado de libertad y podemos elegir como coordenada <math>x(t)</math>. El vector de posición sería
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\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{\imath}.
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Supongamos que el hilo es circular, de radio <math>R</math> y situado en el plano <math>z=0</math>. El vector de posición de la partícula es
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\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{\imath} + y(t)\,\vec{\jmath}.
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Vemos dos coordenadas en el vector: <math>\{x, y\}</math>, pero la partícula tiene sólo un grado de libertad. Lo que ocurre es que estas coordenadas no pueden variar de forma independiente. Tienen que cumplir la ligadura <math>x^2 + y^2=R^2</math>. Podríamos escoger <math>x</math> o <math>y</math> para especificar la posición de la partícula y despejar la otra a partir de la condición de ligadura. Pero en este caso es mas conveniente escoger el ángulo de la figura como coordenada: <math>\{\theta\}</math>. De esta forma el vector de posición es
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\vec{r}(t) = R\cos\theta(t)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta(t)\,\vec{\jmath}.
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[[Archivo:MR_09_04.png|right]]
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Si la partícula está obligada a moverse en un cilindro como el de la figura, el vector de posición puede expresarse en función de <math>\theta</math> y <math>z</math> como
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\vec{r}(t) = R\cos\theta(t)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta(t)\,\vec{\jmath} + z(t)\,\vec{k}.
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Aquí la  condición de ligadura es <math>x^2+y^2=R^2</math>, el número de grados de libertad es 2 y las coordenadas usadas son <math>\{\theta, z\}</math>.
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En este último caso hemos usado un ángulo y una distancia para describir la posición de la partícula, aunque sean magnitudes cualitativamente distintas. Este es el concepto de '''coordenadas generalizadas''': son cualesquiera magnitudes pueden utilizarse para describir un sistema. En este curso serán distancias y/o ángulos, pero en general puede ser cualquier cosa: una componente de momento de una fuerza, un índice bursátil, etc.
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== Sistemas de partículas: Sólido Rígido ==
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Si tenemos un sistema con <math>N</math> partículas, tendremos <math>N</math> vectores de posición <math>\{\vec{r}_i\}_{i=1}^N</math> y, por tanto, <math>3N</math> coordenadas cartesianas.  Si las partículas tienen que cumplir <math>k</math> ligaduras, el número de grados de libertad es <math>n = 3N - k</math>. Necesitaremos entonces <math>n</math> coordenadas generalizadas, <math>\{q_k(t)\}_{k=1}^n</math>, para describir en cada instante la configuración del sistema.
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[[Archivo:MR_09_05.png|right|300px]]
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= [[MR_09 Principio de los trabajos virtuales | Principio de los trabajos virtuales]] =
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En el caso de un sólido rígido libre ya hemos visto que se necesitan 6 coordenadas para describir su posición: 3 coordenadas asociadas a la traslación y 3 a la rotación. Aunque un sólido tiene muchos puntos, la condición de rigidez impone condiciones muy restrictivas al movimiento, resultando en 6 grados de libertad para el sólido rígido libre. En el caso de sólidos vinculados habrá que examinar cada sistema individualmente. Por ejemplo, el sistema de la figura, formado por dos sólidos vinculados, tiene 3 grados de libertad
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=[[MR_09 Fuerzas generalizadas | Fuerzas generalizadas]] =
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=[[MR_09 Fuerzas conservativas | Fuerzas conservativas]] =
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\{q_1 = x, q_2=\theta, q_3=\rho\} \qquad n=3.
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última version al 15:02 17 jul 2018

Contenido

1 Introducción

En los temas anteriores hemos visto como se aplican los principios de la Mecánica Vectorial al estudio del Sólido Rígido. En Mecánica Vectorial las magnitudes que describen el movimiento del sistema son la Cantidad de Movimiento y el Momento Cinético. Y las acciones sobre un Sólido Rígido se describen utilizando fuerzas y pares de fuerzas. Todas estas magnitudes son vectores, de ahí su nombre. El Teorema del Centro de Masas y el Teorema del Momento Cinético proporcionan las ecuaciones diferenciales del movimiento. Estas ecuaciones también son vectoriales.

En Mecánica Analítica, en cambio, la dinámica de los sistemas de partículas se describe usando magnitudes escalares: la energía cinética, la energía potencial, la función de Lagrange, etc. Esto no quiere decir que los vectores no aparezcan. Las acciones sobre un Sólido Rígido todavía se describen usando vectores y pares de fuerzas, especialmente en el caso de sistemas no conservativos. Pero el objetivo será encontrar la función de Lagrange del sistema (un escalar) y a partir de ella encontrar las ecuaciones del movimiento.

La Mecánica Analítica describe el estado de un sistema a través de coordenadas generalizadas. Al analizar un problema el primer paso es identificar las coordenadas generalizadas mas adecuadas y el número mínimo necesario para describir el sistema: el número de grados de libertad. Esto permitirá, en general, eliminar las fuerzas de ligadura del problema. Cualquier magnitud física puede ser una coordenada generalizada: una distancia, un ángulo, una componente de fuerza, etc. En ingeniería serán casi siempre distancias y ángulos.

La Mecánica Analítica es muy potente. Permite encontrar con relativa facilidad las condiciones de equilibrio y las ecuaciones de movimiento de sistemas muy complejos. A cambio, requiere un grado mayor de abstracción en el tratamiento de los problemas.

2 Coordenadas generalizadas

3 Ligaduras

4 Desplazamientos virtuales

5 Principio de los trabajos virtuales

6 Fuerzas generalizadas

7 Fuerzas conservativas

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Introducci%C3%B3n_a_la_mec%C3%A1nica_anal%C3%ADtica_(MR)"

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