De Laplace

1 Fuerzas conservativas

En un sistema conservativo todas las fuerzas aplicadas son conservativas. Por tanto, puede definirse una energía potencial del sistema. Veremos que en este caso el P.T.V. puede entenderse como búsqueda del mínimo de la energía potencial del sistema.

Tenemos la partícula de la figura sometida a ligaduras ideales y a la fuerza conservativa de la gravedad. El sistema tiene una coordenada generalizada: ${θ}$ . Tenemos

$\begin{array}{l} \vec{r} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},\\ \delta\vec{r} = (-R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\cos\theta\,\vec{\jmath})\,\delta\theta, \\ \vec{P} = mg\,\vec{\imath}. \end{array}$

Aplicando el P.T.V. tenemos

$\delta W = \vec{P}\cdot\delta\vec{r}=0 \Longrightarrow -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta_{eq} = 0 \Longrightarrow \theta_{eq} = 0.$

Podemos definir la energía potencial gravitatoria como

$U = - m g R cosθ$

En un desplazamiento virtual, la variación de energía potencial es

$\delta U = -\delta W = -\vec{P}\cdot\delta\vec{r}.$

Es decir, para que la posición sea de equilibrio, la energía potencial no debe cambiar en un desplazamiento virtual. Esto equivale a decir que al energía potencial debe tener un extremo en el punto de equilibrio. Para que eso ocurra su derivada debe ser nula

$\delta U_g = 0 \Longrightarrow \left(\dfrac{\partial U_g}{\partial \theta}\right)\,\delta\theta = 0 \Longrightarrow \dfrac{\partial U_g}{\partial \theta}=0.$

En este caso

$\dfrac{\partial U_g}{\partial \theta}= -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta_{eq} = 0 \Longrightarrow \theta_{eq}=0.$

Para un sistema conservativo con $n$ grados de libertad, una configuración del sistema es de equilibrio si la energía potencial tiene un extremo

$\delta U = \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\partial U}{\partial q_k}\delta q_k = 0.$

Si el sistema es independiente, cada una de las derivadas debe anularse

$\dfrac{\partial U}{\partial q_k} = 0, \qquad k=1,\ldots,n$

Obtenemos así $n$ ecuaciones para las $n$ coordenadas generalizadas ${q k}$ .

Es interesante señalar que las fuerzas generalizadas conservativas se obtienen como derivadas de la energía potencial. Tenemos

$\delta W = \sum\limits_{i=1}^nQ^C_k\delta q_k = -\delta U = \sum\limits_{i=1}^n \left(-\dfrac{\partial U}{\partial q_k}\right)\delta q_k.$

Si el sistema es independiente, para que los dos sumatorios sean iguales cada uno de los factores debe ser igual, es decir

$Q_k^C = -\dfrac{\partial U}{\partial q_k}$

Esta es una generalización al espacio de configuraciones de la relación entre la fuerza y el gradiente de la energía potencial en Mecánica Vectorial.

$\vec{F} = -\nabla U.$

1.1 Estabilidad del equilibrio

No todos los puntos de equilibrio son iguales. Supongamos una partícula engarzada en un aro vertical liso sometida a la acción de la gravedad. La condición de equilibrio sobre la energía potencial nos da dos posiciones de equilibrio

$U = mg\cos\theta \Longrightarrow \dfrac{\partial U}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta$

Las posiciones de equilibrio son

$\theta_{eq} = \left\{ \begin{array}{ll} \theta_{eq} = 0 & \mathrm{min} \\ \theta_{eq} = \pi & \mathrm{max} \end{array} \right.$

El mínimo corresponde a un equilibrio estable. Si la posición de la partícula es perturbada ligeramente las fuerzas que actúan hacen que vuelva a la posición de equilibrio. En el caso del máximo el equilibrio es inestable. Tras una pequeña perturbación la partícula se aleja cada vez más de la posición de equilibrio.

Si el sistema tiene sólo un grado de libertad la derivada segunda del pontencial en los puntos de equilibrio nos da el carácter del equilibrio

$\begin{array}{ll} \dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2} > 0: & \mathrm{min},\\ \dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2} < 0: & \mathrm{max},\\ \dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2} = 0: & \mathrm{indiferente}. \end{array}$

El último caso aparece cuando el potencial es plano en el punto de equilibrio. Un ejemplo sería un bloque apoyado en una mesa horizontal sin rozamiento. Todos los puntos de la mesa son de equilibrio.

Cuando el sistema tiene varios grados de libertad la posición de equilibrio debe ser un mínimo local para que sea de equilibrio estable. En la figura la posición de la izquierda es de equilibrio estable, mientras que la de la derecha es inestable.

1.2 Aplicación a sistemas no conservativos

La formulación del P.T.V. en términos de la energía potencial no es aplicable si hay fuerzas no conservativas en el sistema, como el rozamiento. En ese caso, puede considerarse que las fuerzas generalizadas tienen dos contribuciones: una que proviene de las fuerzas conservativas y otra de las no conservativas.

$\begin{array}{l} Q_k^C = \sum\limits_i \vec{F}_i^{\,C}\cdot\dfrac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_k} + \sum\limits_j \vec{M}_j^{\,C}\cdot\dfrac{\partial\vec{\theta}_j}{\partial q_k}, \\ Q_k^{NC} = \sum\limits_i \vec{F}_i^{\,NC}\cdot\dfrac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_k} + \sum\limits_j \vec{M}_j^{\,NC}\cdot\dfrac{\partial\vec{\theta}_j}{\partial q_k}. \end{array}$