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Línea 129: |
| | ==Movimiento general de un sólido== | | ==Movimiento general de un sólido== |
| | {{ac|Movimiento general de un sólido rígido}} | | {{ac|Movimiento general de un sólido rígido}} |
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| - | ===Movimiento general. Teorema de Chasles===
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| - | El caso general, según hemos visto, es una composición de una rotación y un desplazamiento en una dirección arbitraria.
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| - | Chasles generalizó el teorema de Euler, observando que ese desplzamiento arbitrario puede descomponerse en una traslación paralela al eje de rotación y en una ortogonal a él. la parte ortogonal puede englobarse en la rotación, quedando solo la paralela.
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| - | Por tanto, el movimiento general de un sólido se reduce a una rotación en torno a un eje y un desplazamiento en la dirección de este eje (que en este contexto se denomina ''eje de rotación y mínimo deslizamiento''). Este movimiento se denomina “un tornillo” por su analogía con la conducta de esta herramienta.
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| - | ==Campo de velocidades==
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| - | Cuando un sólido rígido se mueve efectúa en cada instante un movimiento rígido infinitesimal.
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| - | Como en los movimientos finitos, consideraremos dos sistemas de referencia: el 1, que consideramos como fijo y el 2, ligado al sólido.
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| - | Dado que un punto P del espacio puede considerarse simultáneamente como parte del sistema de referencia 1 y como parte del sistema 2, emplearemos la siguiente notación para indicar la velocidad del punto P
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| - | <center>[[Archivo:vP21.png]]</center>
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| - | Esta notación puede parece un poco excesiva en este contexto, pero será de gran utilidad al considerar el [[Cinemática_del_movimiento_relativo_(CMR)|movimiento relativo]].
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| - | De acuerdo con el teorema de Chasles, este movimiento instantáneo se compondrá de una rotación diferencial alrededor de un eje (que ahora será eje ''instantáneo'' de rotación y mínimo deslizamiento, ya que puede cambiar de un instante a otro) y de un desplazamiento.
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| - | Si tomamos como referencia el punto O (“centro de reducción”) la velocidad de cualquier punto será la suma vectorial de la traslación de O más la rotación alrededor de un eje que pasa por O.
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| - | Para la velocidad de la rotación no tenemos más que considerar de nuevo qué le ocurre a la base ligada al sólido.
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| - | Si consideramos un punto P del sólido, su expresión en la bae ligada al sólido será
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| - | <center><math>\overrightarrow{OP}=x_2\vec{\imath}_2+y_2\vec{\jmath}_2+z_2\vec{k}_2</math></center>
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| - | Este vector será constante en el sistema de referencia ligado al sólido, pero no en el sistema fijo 1. Si derivamos esta expresión en el sistema de referencia 1, solo son dependientes del tiempo los vectores de la base
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| - | <center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{OP}\right|_1=x_2\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}\right|_1+y_2\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_2}{\mathrm{d}t}\right|_1+z_2\left.\frac{\mathrm{d}\vec{k}_2}{\mathrm{d}t}\right|_1</math></center>
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| - | ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de <math>\vec{\imath}_2</math>? El extremo de este vector está realizando un movimiento circular instantáneo alrededor del eje de rotación y por tanto su velocidad cumple la relación
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| - | <center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{\omega}_{21}\times \vec{\imath}_2</math></center>
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| - | y lo mismo para los otros dos vectores de la base, que giran con la misma velocidad angular (si las velocidades angulares fueran diferentes el sólido dejaría de ser rígido, ya que los vectores de la base se acercarían o alejarían). Por tanto,
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| - | <center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{OP}\right|_1=x_2(\vec{\omega}_{21}\times \vec{\imath}_2)+y_2(\vec{\omega}_{21}\times \vec{\jmath}_2)+z_2(\vec{\omega}_{21}\times \vec{k}_2)=\vec{\omega}_{21}\times(x_2\vec{\imath}_2+y_2\vec{\jmath}_2+z_2\vec{k}_2)=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP}</math></center>
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| - | <center>[[Archivo:rotación-instantanea-base.png|600px]]</center>
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| - | Por tanto, la velocidad debida a la rotación del sólido será, para todos los puntos,
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| - | <center><math>\vec{v}_{21}^{Pr}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP}</math></center>
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| - | Aquí al vector <math>\vec{\omega}_{21}</math> se lo denomina ''vector rotación'' del sólido o velocidad angular instantánea del sólido. El criterio para asignar los subíndices es el mismo que para la velocidad lineal
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| - | <center>[[Archivo:w21.png]]</center>
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| - | A esta velocidad habrá que sumarle la de la traslación del punto O, que será común para todos los puntos
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| - | <center><math>\vec{v}_{21}^{Pt}=\vec{v}^O_{21}</math></center>
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| - | y por tanto la velocidad de cualquier punto del sólido es de la forma
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| - | <center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^O_{21}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{OP}</math></center>
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| - | ===Cambio del centro de reducción===
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| - | En un movimiento general, sin punto fijo, el punto O no tiene nada de especial. Si consideramos como referencia otro punto A obtenemos
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| - | <center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^O_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\right)=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AP}</math></center>
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| - | es, decir, para cualquier par de puntos se cumple
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| - | <center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AP}</math></center>
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| - | o dicho de otra forma, para conocer la velocidad instantánea de cualquier punto basta con conocer la velocidad angular (misma para todos) y la velocidad de un punto cualquiera. Al par <math>\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^A_{21}\}</math> se lo denomina ''reducción cinemática'' del campo de velocidades en el punto A.
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| - | ===Estructura del campo de velocidades===
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| - | ====Invariantes====
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| - | Hay dos cantidades que son iguales para todos los puntos del sólido:
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| - | ;Velocidad angular: Es el ''invariante vectoral'' <math>\vec{\omega}_{21}</math> que, como hemos visto aparece en cualquier reducción cinemática. Es decir que cualquiera que sea el punto de referencia que tomemos, vemos al sólido girar instantáneamente con la misma velocidad angular.
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| - | ;Velocidad de deslizamiento: Es el ''invariante escalar''. Si calculamos la componente de la velocidad de cada punto en la dirección de la velocidad angular tenemos
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| - | <center><math>v_{Pd}=\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{u}_\omega=\vec{v}^P_{21}\cdot\frac{\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \vec{v}^O_{21}\cdot\frac{\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|}=v_{Od}</math></center>
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| - | Atendiendo a estas dos cantidades, o para evitar divisiones por cero, a <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{v}_{21}^2\cdot\vec{\omega}_{21}=v_d\vec{\omega}_{21}</math> tenemos los siguientes posibles estados de movimiento: reposo, traslación, rotación y movimiento helicoidal.
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| - | ====Reposo y traslación====
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| - | Si la velocidad angular es nula en un instante dado, la velocidad de todos los puntos del sólido es idéntica en dicho instante.
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| - | <center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^O_{21}+\overbrace{\vec{\omega}_{21}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OP}=\vec{v}^O_{21}</math></center>
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| - | En particular, si un punto tiene velocidad nula, todos tienen velocidad nula. Se dice entonces que el sólido está en un estado de reposo, que puede ser instantáneo o permanente.
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| - | Si la velocidad de un punto (y, por tanto, de todos) no es nula, se dice que estamos en una traslación. Las traslaciones pueden ser instantáneas o permanentes.
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| - | [[Archivo:noria-traslacion.gif|right]]
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| - | Si fijamos un sistema de ejes al sólido, estos mantienen su orientación en un movimiento de traslación.
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| - | Equivalentemente, el movimiento de traslación se puede enunciar afirmando que si tres puntos no colineales del sólido tienen la misma velocidad, todos los demás también tienen la misma.
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| - | Hay que insistir en que hablamos de velocidades instantáneas y del movimiento relativo de los diferentes puntos del sólido. Un movimiento de traslación NO significa que el sólido se mueve en línea recta, o a velocidad constante.
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| - | Por ejemplo, consideremos el movimiento de un vagón de una noria. Puesto que éste no se da la vuelta, sino que conserva en todo momento su orientación vertical, llegamos a la conclusión de que el sólido experimenta un movimiento de traslación. Cada uno de sus puntos se mueve en cada instante con la misma velocidad que el resto de los puntos, aunque esta velocidad sea cambiante.
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| - | En el caso más restrictivo
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| - | <center><math>\vec{\omega}_{21}=\vec{0} \quad \forall t</math></center>
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| - | implica un movimiento de traslación permanente: los ejes ligados al sólido conservan su orientación en cada instante y el movimiento de cada uno de los puntos del sólido reproduce exactamente el de cualquier otro de ellos.
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| - | En una traslación permanente, la posición relativa de un punto cualquiera B respecto a otro punto arbitrario A se mantiene constante en módulo, dirección y sentido.
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| - | <center><math>\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{AB}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_{21}^B-\vec{v}^A_{21}=\overbrace{\vec{\omega}_{21}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{AB}= \vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{AB}=\mathrm{cte}</math></center>
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| - | Un movimiento de traslación permanente no tiene por qué ser ni rectilíneo ni uniforme. Como en el caso de la noria, es posible que cada uno de los puntos describa una circunferencia en torno a un centro (siendo este centro diferente para cada punto del sólido).
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| - | ====Movimiento de rotación y helicoidal====
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| - | Si la velocidad angular es no nula, ya la velocidad no será la misma en todos los puntos. Atendiendo a la velocidad de deslizamiento, tenemos dos casos:
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| - | ;Movimiento de rotación: Si la velocidad de deslizamiento es nula, <math>v_d=0</math> o, equivalentemente, si <math>\vec{v}^O_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}= 0</math>
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| - | ;Movimiento helicoidal: Si la velocidad de deslizamiento es distinta de cero, <math>v_d\neq 0</math>, o equivalentemente si <math>\vec{v}^O_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}\neq 0</math>
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| - | Estos dos movimientos comparten bastantes propiedades, y poseen algunas diferencias.
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| - | * Si dos puntos están en una recta paralela a la velocidad angular, tienen la misma velocidad
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| - | <center><math>\overrightarrow{PQ}\parallel \vec{\omega}_{21}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^P_{21}=\vec{v}_{21}^Q</math></center>
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| - | :Esto permite reducir el estudio a lo que ocurre en planos perpendiculares a la velocidad angular, ya que la distribución de velocidades en estos planos paralelos será idéntica.
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| - | *Inversamente, si dos puntos tienen la misma velocidad, la velocidad angular será paralela a la recta que pasa por estos dos puntos.
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| - | * En cada uno de estos planos paralelos, existe un punto E cuya velocidad es la de deslizamiento (nula en el caso de rotación). Sea O el centro de reducción. Buscamos un punto I del plano normal a <math>\vec{\omega}_{21}</math> y que pasa por O, tal que <math>\vec{v}_{21}^I=v_d\vec{u}_\omega</math>
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| - | <center><math>v_d\vec{u}_\omega = \vec{v}_{21}^I=\vec{v}^O_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OI}</math></center>
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| - | :multiplicando aquí vectorialmente por <math>\vec{\omega}_{21}</math> y aplicando las propiedades del doble producto vectorial
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| - | <center><math>\vec{0}=\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^O_{21}+(\overbrace{\vec{\omega}_{21}\cdot\overrightarrow{OI}}^{=0})\vec{\omega}_{21}-|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{OI}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^O_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}</math></center>
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| - | * Existe una recta de puntos que tienen como velocidad la de deslizamiento (nula, en el caso de la rotación). Estos puntos constituyen el ''eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento'' (EIRMD), que se reduce al ''eje instantáneo de rotación'' (EIR) si la velocidad de deslizamiento es nula. Es consecuencia de las dos propiedades anteriores. Si la velocidad del punto I es la de deslizamiento, la de cualquier otro punto situado en la recta que pasa por I y en la dirección de laa velocidad angular tendrá la misma velocidad. La ecuación del eje será
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| - | <center><math>\overrightarrow{OE}= \frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^O_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}+\lambda\vec{\omega}_{21}\qquad -\infty<\lambda<\infty</math></center>
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| - | * La velocidad de cualquier punto que no pertenezca al EIRMD tendrá una componente paralela al eje y una ortogonal a él
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| - | <center><math>\vec{v}^P_{21}=\overbrace{\vec{v}_{21}^I}^{\parallel \vec{\omega}_{21}}+\overbrace{\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{IP}}^{\perp\vec{\omega}_{21}}</math></center>
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| - | :La componente paralela es la velocidad de deslizamiento. La componente ortogonal representa la rotación en torno al EIRMD (EIR en su caso). Esta componente ortogonal está orientada según la regla de la mano derecha en torno al eje.
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| - | <center>[[Archivo:Rotacion-pura-cenital.png]]</center>
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| - | * La rapidez de cada punto depende de la distancia al eje como
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| - | <center><math>|\vec{v}^P_{21}|=\sqrt{v_d^2+|\vec{\omega}_{21}|^2 R^2}</math></center>
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| - | :siendo R la distancia del punto P al EIRMD. En el caso de una rotación (<math>v_d=0</math>) esta rapidez aumenta linealmente con la distancia al eje
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| - | <center><math>|\vec{v}^P_{21}|=|\vec{\omega}_{21}| R</math></center>
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| - | L estructura del campo de velocidades es entonces una combinación de avance a lo largo del EIRMD más una rotación en torno a éste.
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| - | {| class="bordeado"
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| - | |-
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| - | ! Rotación
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| - | ! Helicoidal
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| - | |-
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| - | | [[Archivo:Rotacion-pura.png]]
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| - | | [[Archivo:Solido-helicoidal.png]]
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| - | Esto nos permite caracterizar completamente el movimiento
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| - | * Si <math>\vec{\omega}_{21}=\vec{0}</math> y <math>\vec{v}^O_{21}=\vec{0}</math> el estado es de reposo (instantáneo, en general).
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| - | * Si <math>\vec{\omega}_{21}=\vec{0}</math> y <math>\vec{v}^O_{21}\neq \vec{0}</math> se trata de una traslación
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| - | * Si <math>\vec{\omega}_{21}\neq\vec{0}</math> y <math>\vec{v}^O_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}=0</math> (porque <math>\vec{v}^O_{21}=\vec{0}</math> o es ortogonal a la velocidad angular) se trata de una rotación instantánea en torno a un EIR paralelo a la velocidad angular que pasa por <math>\overrightarrow{OI}</math> (para el cual se anula la velocidad en ese caso).
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| - | * Si <math>\vec{\omega}_{21}\neq\vec{0}</math> y <math>\vec{v}^O_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}\neq 0</math> es un movimiento helicoidal instantáneo en torno a un EIRMD paralelo a la velocidad angular que pasa por <math>\overrightarrow{OI}</math> (para el cual la velocidad vale <math>v_d\vec{u}_\omega</math> y es paralela a la velocidad angular).
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| - | <center>[[Archivo:flujo-cinematica.png]]</center>
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| - | Al estudiar el movimiento de rotación y describir las velocidades según la ley se puede adquirir la idea errónea de que las partículas del sólido describen un movimiento circular. Eso '''NO''' es correcto. Lo que hemos hecho es describir la distribución ''instantánea'' de velocidades, esto es, qué velocidad tiene cada punto del sólido en un instante dado, pero no hemos analizado cómo se mueve cada punto a lo largo del tiempo (en términos llanos, hemos tomado una fotografía, no una película de vídeo).
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| - | <center>[[Archivo:cicloide-rotacion.gif]]</center>
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| - | Consideremos el caso de un cilindro que rueda sobre el suelo. La línea de contacto esta formada por puntos con velocidad nula y por tanto se trata de un eje instantáneo de rotación. El cilindro está efectuando una rotación pura instantánea en torno a esta línea de contacto (y no respecto al eje del cilindro, como podría pensarse), pero la trayectoria de cada punto del cilindro no es una circunferencia, sino una ''[[Movimiento cicloidal|cicloide]]'' (técnicamente, para los puntos que no son de la superficie exterior es una ''cicloide acortada'').
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| - | La razón es que aunque instantáneamente esté rotando en torno a esta línea, el eje de rotación va cambiando en el tiempo.
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| | ==Campo de aceleraciones== | | ==Campo de aceleraciones== |
| - | Derivando respecto al tiempo en la expresión del campo de velocidades obtenemos la aceleración de punto P
| + | {{ac|Campo de aceleraciones de un sólido}} |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{a}_{21}^P = \left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^P}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^O}{\mathrm{d}t}\right|_1 + \left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{21}\times\left.\frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\mathrm{d}t}\right|_1</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | Siendo
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| - | | + | |
| - | <center><math> \left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^O}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{a}_{21}^O</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{\alpha}_{21}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\left.\frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{v}_{21}^P-\vec{v}_{21}^O = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | llegamos a la expresión del campo de aceleraciones
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| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{a}_{21}^P = \vec{a}_{21}^O + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OP} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP})</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | A diferencia del campo de velocidades, el campo de aceleraciones no es equiproyectivo:
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| - | | + | |
| - | <center><math>(\vec{a}_{21}^P-\vec{a}_{21}^O)\cdot\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP}\cdot(\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP})) = -\left|\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP}\right|^2</math></center>
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| - | Solo en el caso de traslación o reposo instantáneos se cumplirá la equiproyectividad.
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| - | Dos consideraciones prácticas.
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| - | | + | |
| - | * El campo de aceleraciones requiere conocer tres vectores (esto es, 9 datos, frente a los 6 del campo de velocidades):
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| - | ** La aceleración de un punto O, <math>\vec{a}_{21}^O</math>.
| + | |
| - | ** La velocidad angular instantánea, <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
| + | |
| - | ** La aceleración angular, <math>\vec{\alpha}_{21}</math>, derivada temporal de la velocidad angular.
| + | |
| - | * La aceleración de un punto P se puede calcular derivando la velocidad sólo si se conoce ésta como función del tiempo <math>\vec{v}_{21}^P(t)</math>. Conocerla en un instante no es suficiente.
| + | |
| | | | |
| - | El conocimiento del campo de aceleraciones es especialmente útil cuando tenemos un punto fijo O, para el cual <math>\vec{a}_{21}^O=\vec{0}</math> y deseamos hallar la aceleración de otro punto en concreto, en particular, del centro de masas del sólido.
| + | ==Movimiento plano== |
| | + | {{ac|Movimiento plano de un sólido}} |
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| | [[Categoría:Cinemática del sólido rígido (CMR)]] | | [[Categoría:Cinemática del sólido rígido (CMR)]] |
. para pasar de este estado intermedio al estado final debemos efectuar otro movimiento rígido en el que A es un punto fijo (porque ya se ha movido todo lo que se tenía que mover). Este segundo movimiento será entonces una rotación alrededor de A.
