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Cálculo de aceleración en una curva

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Vector aceleración)
 
(5 ediciones intermedias no se muestran.)
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==Rapidez==
==Rapidez==
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Como en el problema de la [[Aceleración_en_un_tramo_rectilíneo_(GIE)|aceleración en una recta]] podría parecer que la rapidez varía linealmente con la posición y por tanto, a mitad de la curva la velocidad se habrá reducido en un 50% de la variación total. Sin embargo, no es así. Lo que es constante en este problema es la derivada respecto al tiempo, no la derivada respecto a la posición.
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Como en el problema de la [[frenado de un fórmula 1|aceleración en una recta]] podría parecer que la rapidez varía linealmente con la posición y por tanto, a mitad de la curva la velocidad se habrá reducido en un 50% de la variación total. Sin embargo, no es así. Lo que es constante en este problema es la derivada respecto al tiempo, no la derivada respecto a la posición.
Se nos dice que
Se nos dice que
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<center><math>\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t=\mathrm{cte.}</math></center>
<center><math>\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t=\mathrm{cte.}</math></center>
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aunque no se nos dice cuánto vale esta cantidad, solo la velocidad en dos puntos conocidos (80&thinsp;km/h a la entrada y 50&thinsp;km/h a la salida). Por ello, necesitamos hallar la derivada respecto a la posición. Aplicando la regla de la cadena tenemos
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aunque no se nos dice cuánto vale esta cantidad, solo la velocidad en dos puntos conocidos (80&thinsp;km/h a la entrada y 50&thinsp;km/h a la salida).  
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<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}s}\,\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}</math></center>
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El cálculo es análogo al caso rectilíneo, pero empleando la rapidez y la distancia recorrida en lugar de la velocidad y la posición. Tenemos por un lado que, al ser constante
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siendo <math>s</math> la distancia medida a lo largo de la curva. Su derivada respecto al tiempo es la propia rapidez, por lo que
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<center><math>a_t=\frac{\Delta |\vec{v}|}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2-|\vec{v}|_1}{\Delta t}</math></center>
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<center><math>a_t =  |\vec{v}|\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}s}= \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{2}|\vec{v}|^2\right)</math></center>
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mientras que la rapidez media es la media de la rapidez inicial y la final
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Por tanto, lo que varía linealmente respecto a la posición no es la rapidez, sino su cuadrado. Podemos integrar aquí y escribir
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<center><math>|\vec{v}|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2+|\vec{v}|_1}{2}</math></center>
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<center><math>|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_0|^2+2a_t s</math></center>
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Si multiplicamos estas dos ecuaciones
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El valor de <math>a_t</math> lo obtenemos de que conocemos la rapidez en dos puntos, <math>s_0=0</math> (comienzo de la curva) y <math>s_1=\pi R/2</math> (final de la curva), por lo que
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<center><math>a_t \Delta s = \frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2}\qquad \Rightarrow\qquad a_t =\frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2\,\Delta s}</math></center>
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<center><math>|\vec{v}_1|^2 = |\vec{v}_0|^2 + 2a_t(s_1-s_0)\qquad\Rightarrow\qquad a_t = \frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{2(s_1-s_0)}</math></center>
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siendo la distancia recorrida
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y el cuadrado de la rapidez en cada punto sigue la ecuación lineal
+
<center><math>\Delta s = \frac{\pi}{2}R</math></center>
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+
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<center><math>|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_0|^2+\frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{(s_1-s_0)}(s-s_0)</math></center>
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A este resultado se puede llegar también despejando de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado para el movimiento a lo largo de la carretera
A este resultado se puede llegar también despejando de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado para el movimiento a lo largo de la carretera
Línea 39: Línea 37:
<center><math>s = s_0 + |\vec{v}|_0 t + \frac{1}{2}a_tt^2\qquad |\vec{v}|=|\vec{v}|_0+a_t t</math></center>
<center><math>s = s_0 + |\vec{v}|_0 t + \frac{1}{2}a_tt^2\qquad |\vec{v}|=|\vec{v}|_0+a_t t</math></center>
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El resultado se puede poner en función del ángulo girado <math>\varphi</math>, aplicando que <math>s(\varphi)=R\varphi</math>
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El valor resultante de la aceleración tangencial es, pasando las velocidades a m/s,
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<center><math>|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_0|^2+2\varphi \frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{\pi}</math></center>
+
<center><math>a_t=\frac{13.9^2-22.2^2}{\pi\times 100}=-0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
-
Sustituyendo los valores del enunciado queda
+
Para los puntos intermedios aplicamos la relación correspondiente para un cierto ángulo &theta;
-
<center><math>|\vec{v}|^2 = \left(6400 + 2\varphi\frac{2500-6400}{\pi}\right)\frac{\mathrm{km}^2}{\mathrm{h}^2}= \left(6400 -\frac{7800}{\pi}\varphi\right)\frac{\mathrm{km}^2}{\mathrm{h}^2}</math></center>
+
<center><math>a_t=\frac{|\vec{v}|^2-|\vec{v}|_1^2}{2\theta R}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{|\vec{v}|_1^2+2a_tR \theta}=\sqrt{494-192\theta}</math></center>
-
y una vez que tenemos el cuadrado hallamos la rapidez en cada punto mediante la raíz cuadrada
 
-
<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{6400 -\frac{7800}{\pi}\varphi}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math></center>
 
Aplicando esta fórmula a los valores indicados nos queda la tabla
Aplicando esta fórmula a los valores indicados nos queda la tabla
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{| class="bordeado"
{| class="bordeado"
|-
|-
-
! <math>\varphi</math>
+
! <math>\theta</math>
-
! <math>|\vec{v}|^2 (\mathrm{km}^2/\mathrm{h}^2)</math>
+
! <math>|\vec{v}| (\mathrm{m}/\mathrm{s})</math>
! <math>|\vec{v}| (\mathrm{km}/\mathrm{h})</math>
! <math>|\vec{v}| (\mathrm{km}/\mathrm{h})</math>
|-
|-
| 0
| 0
-
| 6400
+
| 22.2
| 80.0
| 80.0
|-
|-
| &pi;/6
| &pi;/6
-
| 5100
+
| 19.8
| 71.4
| 71.4
|-
|-
| &pi;/4
| &pi;/4
-
| 4450
+
| 18.5
| 66.7
| 66.7
|-
|-
| &pi;/3
| &pi;/3
-
| 3800
+
| 17.1
| 61.6
| 61.6
|-
|-
| &pi;/2
| &pi;/2
-
| 2500
+
| 13.9
| 50.0
| 50.0
|}
|}
Línea 86: Línea 82:
==Componentes intrínsecas de la aceleración==
==Componentes intrínsecas de la aceleración==
===Aceleración tangencial===
===Aceleración tangencial===
-
La aceleración tangencial, según indica el enunciado, es constante, y su expresión ya lo hemos calculado en el apartado anterior
+
La aceleración tangencial, según indica el enunciado, es constante, y su expresión y valor ya lo hemos calculado en el apartado anterior
-
<center><math>a_t = \frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{2(s_1-s_0)}</math></center>
+
<center><math>a_t = \frac{|\vec{v}_2|^2-|\vec{v}_1|^2}{\pi R}= -0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
-
 
+
-
Sustituyendo los datos del enunciado
+
-
 
+
-
<center><math>a_t = \frac{(50\,\mathrm{km}/\mathrm{h})^2-(80\,\mathrm{km}/\mathrm{h})^2}{2\cdot(100\,\mathrm{m})(\pi/2)}\times\left(\frac{1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}}\right)^2 = -0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+
===Aceleración normal===
===Aceleración normal===
Línea 99: Línea 91:
<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}</math></center>
<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}</math></center>
-
puesto que el radio de curvatura es constante y la rapidez varía linealmente con la distancia, esta aceleración normal es también una función lineal del ángulo
+
puesto que el radio de curvatura es constante y el cuadrado de la rapidez varía linealmente con la distancia, esta aceleración normal es también una función lineal del ángulo
-
<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}_0|^2}{R}+2\varphi\frac{|\vec{v}_1|^2-|\vec{v}_0|^2}{\pi R}</math></center>
+
<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}|_1^2+2a_tR\theta}{R}</math></center>
Sustituyendo los valores del enunciado (pasados a metros por segundo) queda
Sustituyendo los valores del enunciado (pasados a metros por segundo) queda
-
<center><math>a_n = \left(4.94-1.92\varphi\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+
<center><math>a_n = \left(4.94-1.92\theta\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
Esto nos da la siguiente tabla de valores
Esto nos da la siguiente tabla de valores
Línea 111: Línea 103:
{| class="bordeado"
{| class="bordeado"
|-
|-
-
! <math>\varphi</math>
+
! <math>\theta</math>
! <math>a_t (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
! <math>a_t (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
! <math>a_n (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
! <math>a_n (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
Línea 141: Línea 133:
<center><math>\vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}</math></center>
<center><math>\vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}</math></center>
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Aquí <math>\vec{T}</math> es el vector unitario tangente a la trayectoria, en la dirección y sentido de la velocidad. En función del ángulo <math>\varphi</math> este unitario es igual a
+
Aquí <math>\vec{T}</math> es el vector unitario tangente a la trayectoria, en la dirección y sentido de la velocidad. En función del ángulo <math>\theta</math> este unitario es igual a
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<center><math>\vec{T}=-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}</math></center>
+
<center><math>\vec{T}=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}</math></center>
mientras que el vector normal es el unitario hacia adentro de la circunferencia
mientras que el vector normal es el unitario hacia adentro de la circunferencia
-
<center><math>\vec{N}=-\cos(\varphi)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath}</math></center>
+
<center><math>\vec{N}=-\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}</math></center>
Combinando los dos términos nos queda el vector aceleración
Combinando los dos términos nos queda el vector aceleración
-
<center><math>\vec{a}=\left(-a_t\,\mathrm{sen}(\varphi)-a_n\cos(\varphi)\right)\vec{\imath}+\left(a_n\cos(\varphi)-a_n\,\mathrm{sen}(\varphi)\right)\vec{\jmath}</math></center>
+
<center><math>\vec{a}=\left(-a_t\,\mathrm{sen}(\theta)-a_n\cos(\theta)\right)\vec{\imath}+\left(a_n\cos(\theta)-a_n\,\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{\jmath}</math></center>
Sustituyendo los valores de los ángulos del enunciado
Sustituyendo los valores de los ángulos del enunciado
Línea 157: Línea 149:
{| class="bordeado"
{| class="bordeado"
|-
|-
-
! <math>\varphi</math>
+
! <math>\theta</math>
! <math>\vec{a} (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
! <math>\vec{a} (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)</math>
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|-
| 0
| 0
-
| <math>-4.93827\vec{\imath}-0.957877\vec{\jmath}</math>
+
| <math>-4.94\vec{\imath}-0.96\vec{\jmath}</math>
|-
|-
| &pi;/6
| &pi;/6
-
| <math>-2.92903\vec{\imath}-2.79714\vec{\jmath}</math>
+
| <math>-2.93\vec{\imath}-2.80\vec{\jmath}</math>
|-
|-
| &pi;/4
| &pi;/4
-
| <math>-1.75063\vec{\imath}-3.10527\vec{\jmath}</math>
+
| <math>-1.75\vec{\imath}-3.11\vec{\jmath}</math>
|-
|-
| &pi;/3
| &pi;/3
-
| <math>-0.636504\vec{\imath}-3.01821\vec{\jmath}</math>
+
| <math>-0.64\vec{\imath}-3.02\vec{\jmath}</math>
|-
|-
| &pi;/2
| &pi;/2
-
| <math>0.957877\vec{\imath}-1.92901\vec{\jmath}</math>
+
| <math>0.96\vec{\imath}-1.93\vec{\jmath}</math>
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&nbsp;
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<center>[[Archivo:aceleracion-curva-02.png]]</center>
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]
-
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]
+
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

última version al 23:29 20 oct 2017

Contenido

1 Enunciado

Un coche entra en una curva de 90° y 100 m de radio a 80 km/h. Disminuye su rapidez uniformemente hasta salir de la curva a 50 km/h.

  1. Determine su rapidez cuando ha recorrido 1/3 de la curva, la mitad y 2/3 de ella.
  2. Halle su aceleración tangencial y su aceleración normal en los mismos puntos.
  3. Exprese el vector aceleración en estos puntos en los ejes indicados en la figura
Archivo:aceleracion-coche-curva.png

2 Rapidez

Como en el problema de la aceleración en una recta podría parecer que la rapidez varía linealmente con la posición y por tanto, a mitad de la curva la velocidad se habrá reducido en un 50% de la variación total. Sin embargo, no es así. Lo que es constante en este problema es la derivada respecto al tiempo, no la derivada respecto a la posición.

Se nos dice que

\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t=\mathrm{cte.}

aunque no se nos dice cuánto vale esta cantidad, solo la velocidad en dos puntos conocidos (80 km/h a la entrada y 50 km/h a la salida).

El cálculo es análogo al caso rectilíneo, pero empleando la rapidez y la distancia recorrida en lugar de la velocidad y la posición. Tenemos por un lado que, al ser constante

a_t=\frac{\Delta |\vec{v}|}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2-|\vec{v}|_1}{\Delta t}

mientras que la rapidez media es la media de la rapidez inicial y la final

|\vec{v}|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2+|\vec{v}|_1}{2}

Si multiplicamos estas dos ecuaciones

a_t \Delta s = \frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2}\qquad \Rightarrow\qquad a_t =\frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2\,\Delta s}

siendo la distancia recorrida

\Delta s = \frac{\pi}{2}R

A este resultado se puede llegar también despejando de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado para el movimiento a lo largo de la carretera

s = s_0 + |\vec{v}|_0 t + \frac{1}{2}a_tt^2\qquad |\vec{v}|=|\vec{v}|_0+a_t t

El valor resultante de la aceleración tangencial es, pasando las velocidades a m/s,

a_t=\frac{13.9^2-22.2^2}{\pi\times 100}=-0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Para los puntos intermedios aplicamos la relación correspondiente para un cierto ángulo θ

a_t=\frac{|\vec{v}|^2-|\vec{v}|_1^2}{2\theta R}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{|\vec{v}|_1^2+2a_tR \theta}=\sqrt{494-192\theta}


Aplicando esta fórmula a los valores indicados nos queda la tabla

θ |\vec{v}| (\mathrm{m}/\mathrm{s}) |\vec{v}| (\mathrm{km}/\mathrm{h})
0 22.2 80.0
π/6 19.8 71.4
π/4 18.5 66.7
π/3 17.1 61.6
π/2 13.9 50.0

 

Archivo:rapidez-curva-02.png        Archivo:rapidez-curva-01.png

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

3.1 Aceleración tangencial

La aceleración tangencial, según indica el enunciado, es constante, y su expresión y valor ya lo hemos calculado en el apartado anterior

a_t = \frac{|\vec{v}_2|^2-|\vec{v}_1|^2}{\pi R}= -0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

3.2 Aceleración normal

La aceleración normal, en cada punto de la curva, tiene la expresión

a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}

puesto que el radio de curvatura es constante y el cuadrado de la rapidez varía linealmente con la distancia, esta aceleración normal es también una función lineal del ángulo

a_n = \frac{|\vec{v}|_1^2+2a_tR\theta}{R}

Sustituyendo los valores del enunciado (pasados a metros por segundo) queda

a_n = \left(4.94-1.92\theta\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Esto nos da la siguiente tabla de valores

θ at(m / s2) an(m / s2)
0 -0.958 4.94
π/6 -0.958 3.94
π/4 -0.958 3.43
π/3 -0.958 2.93
π/2 -0.958 1.93

4 Vector aceleración

Una vez que tenemos las componentes intrínsecas, construimos el vector aceleración como

\vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}

Aquí \vec{T} es el vector unitario tangente a la trayectoria, en la dirección y sentido de la velocidad. En función del ángulo θ este unitario es igual a

\vec{T}=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}

mientras que el vector normal es el unitario hacia adentro de la circunferencia

\vec{N}=-\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}

Combinando los dos términos nos queda el vector aceleración

\vec{a}=\left(-a_t\,\mathrm{sen}(\theta)-a_n\cos(\theta)\right)\vec{\imath}+\left(a_n\cos(\theta)-a_n\,\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{\jmath}

Sustituyendo los valores de los ángulos del enunciado

θ \vec{a} (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)
0 -4.94\vec{\imath}-0.96\vec{\jmath}
π/6 -2.93\vec{\imath}-2.80\vec{\jmath}
π/4 -1.75\vec{\imath}-3.11\vec{\jmath}
π/3 -0.64\vec{\imath}-3.02\vec{\jmath}
π/2 0.96\vec{\imath}-1.93\vec{\jmath}

 

Archivo:aceleracion-curva-02.png
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