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Problemas del primer principio de la termodinámica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Mezcla de agua y hielo)
 
(31 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
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=== [[ Trabajo en diferentes procesos ]]===
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== [[ Trabajo en diferentes procesos ]]==
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=== [[ Calorímetro de flujo ]]===
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== [[ Calorímetro de flujo ]]==
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=== [[ Temperatura de una llama ]]===
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== [[ Temperatura de una llama ]]==
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=== [[ Temperatura de un vaso metálico ]]===
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== [[ Temperatura de un vaso metálico ]]==
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=== [[ Mezcla de agua y hielo ]]===
+
== [[ Mezcla de agua y hielo ]]==
 +
Dentro de un recipiente adiabático se sumerge un bloque de 100 g de hielo a 0.0 °C en 1.0 litros de agua a 20 °C. Determine si se funde todo el hielo y la temperatura final del sistema. ¿Qué ocurre si en lugar de 100 g se tiene 1.0 kg de hielo?
-
=== [[ Mezcla de agua y vapor ]]===
+
¿Cuánta entropía se produce en cada caso?
-
=== [[ Mezcla de agua y hielo con bloque metálico ]]===
+
== [[Mezcla de agua y vapor ]]==
 +
En un calorímetro que contiene 200 g de hielo a -8.00<sup>o</sup>C se introducen 50.0 g de vapor de agua a 100<sup>o</sup>C. El equivalente en agua del calorímetro es 20.0 g. Determina el estado final de la mezcla.
-
=== [[ Aleación de dos metales ]]===
+
Datos: calor específico del hielo: 0.500 cal/g<sup>o</sup>C; entalpía de fusión del hielo: 80.0cal/g; entalpía de vaporización del agua: 537 cal/g
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=== [[ Transformación de energía potencial gravitatoria en calor ]]===
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[[Mezcla de agua y vapor|'''Solución''']]
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Un bloque de hielo a <math>0^o\mathrm{C}</math> se deja caer libremente desde una altura de 80 m. En el momento del choque,
+
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un 20% de la energía del bloque se transforma en calor absorbible por su masa. ¿Que parte del hielo se funde a causa de esta absorción?
+
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[[Solución]]
+
[[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica]]
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=== [[ Conducción térmica en dos barras en contacto ]]===
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== [[ Mezcla de agua y hielo con bloque metálico ]]==
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Un calorímetro contiene 500&thinsp;g de agua y 300&thinsp;g de hielo, todo ello a una temperatura de 0&deg;C. Se coge un bloque metálico de 1000&thinsp;g de un horno cuya temperatura es de 240&deg;C y se deja caer rápidamente dentro del calorímetro, resultando que se produce exactamente la fusión de todo el hielo. ¿Cuál sería la temperatura final del sistema si la masa de hierro fuese el doble? Desprecia las pérdidas caloríficas del calorímetro y su capacidad calorífica.
-
Una barra de oro está en contacto térmico con otra de plata de la misma longitud y área. Uno de los extremos de esta barra compuesta se mantiene a una temperatura de <math>80^o\mathrm{C}</math>, mientras que el extremo opuesto está a <math>30^o\,\mathrm{C}</math>. Cuando la transferencia de energía alcance un estado estacionario, ¿cuál será la temperatura en la unión?
+
[[Mezcla de agua y hielo con bloque metálico|'''Solución''' ]]
-
Datos: conductividad térmica del oro: <math>314\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>;
+
== [[ Aleación de dos metales ]]==
-
conductividad térmica de la plata: <math>427\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>
+
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[[Conducción térmica en dos barras en contacto|'''Solución''']]
+
==[[Transformación de energía potencial gravitatoria en calor]]==
 +
Un bloque de hielo a 0&deg;C se deja caer libremente desde una altura de 80&thinsp;m. En el momento del choque, un 20% de la energía del bloque se transforma en calor absorbible por su masa. ¿Que parte del hielo se funde a causa de esta absorción?
-
=== [[ Crecimiento de una capa de hielo ]]===
+
[[Transformación de energía potencial gravitatoria en calor|'''Solución''']]
-
Un estanque de
+
==[[Conducción térmica en dos barras en contacto]]==
-
agua a
+
Una barra de oro está en contacto térmico con otra de plata de la misma longitud y área. Uno de los extremos de esta barra compuesta se mantiene a una temperatura de 80&deg;C, mientras que el extremo opuesto está a 30&deg;C. Cuando la transferencia de energía alcance un estado estacionario, ¿cuál será la temperatura en la unión?
-
<math>0\mathrm{^oC}</math>
+
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está cubierto
+
-
por una capa
+
-
de hielo de
+
-
4.00 cm de
+
-
espesor. Si la temperatura del aire
+
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permanece constante a
+
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-10.0<math>\mathrm{^oC}</math>, ¿cuánto
+
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tardará el espesor de la capa de hielo en
+
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alcanzar los 8.00 cm?
+
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[[ Crecimiento de una capa de hielo|'''Solución''']]
+
Datos: conductividad térmica del oro: <math>314\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>; conductividad térmica de la plata: <math>427\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>
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[[Imagen:Esquema_estanque.jpg|right]]
+
[[Conducción térmica en dos barras en contacto|'''Solución''']]
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Intentemos primero
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comprender la física
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del problema. Como se indica en la figura, tenemos
+
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dos sistemas que intercambian calor, el agua líquida
+
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debajo del hielo y el aire por encima. La energía se
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transmite a través del hielo por conducción. Como el
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agua cerca del hielo tiene una temperatura mayor que
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la del aire, la energía fluye del agua hacia el
+
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aire. Pero el agua cerca del hielo está a una
+
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temperatura de <math>0^oC</math>, por lo que al
+
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ceder energía sufre un cambio de fase y se congela.
+
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Este proceso hace aumentar el grosor de la capa de
+
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hielo.
+
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Veamos cuanto vale la potencia transferida a través
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== [[Crecimiento de una capa de hielo]]==
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del hielo. En este caso tenemos un medio homogéneo,
+
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similar a la barra homogénea del problema anterior.
+
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El papel de la longitud de la barra lo representa
+
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aquí el grosor de la capa de hielo <math>h</math>.
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Vamos a suponer que en cada instante la potencia de
+
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energía transferida es la misma en cada punto del
+
-
hielo. En el problema anterior vimos que cuando el
+
-
medio es homogéneo la temperatura varía linealmente.
+
-
Entonces podemos hacer la aproximación
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\displaystyle
+
-
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\simeq\frac{\Delta
+
-
T}{h}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
La potencia transferida a través del hielo es entonces
+
-
[[Imagen:Esquema_estanque_2.jpg|right]]
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\displaystyle
+
-
\dot{Q}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=k_HA\frac{\Delta T}{h}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Aquí,
+
-
<math>k_H</math>
+
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es la
+
-
conductividad
+
-
térmica
+
-
del hielo
+
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y
+
-
<math>A</math>
+
-
es la superficie del estanque.
+
-
Podemos reescribir esta expresión de modo que
+
-
obtenemos la energía
+
-
cedida por el agua
+
-
en el intervalo de
+
-
tiempo
+
-
<math>\mathrm{d}t</math>
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\displaystyle\mathrm{d}Q=k_HA\frac{\Delta T}{h}\mathrm{d}t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Ahora
+
Un estanque de agua a 0&deg;C está cubierto por una capa de hielo de 4.00&deg;cm de espesor. Si la temperatura del aire permanece constante a
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bien, está
+
-10.0&deg;C, ¿cuánto tardará el espesor de la capa de hielo en alcanzar los 8.00&thinsp;cm?
-
energía es
+
-
la que ha
+
-
cedido el
+
-
agua al
+
-
congelarse.
+
-
Suponiendo
+
-
que en el
+
-
intervalo
+
-
de tiempo
+
-
<math>\mathrm{d}t</math>
+
-
se congela
+
-
una fila
+
-
lámina de
+
-
agua de
+
-
grosor
+
-
<math>\mathrm{d}h</math>,
+
-
la energía
+
-
cedida por
+
-
el agua es
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\mathrm{d}Q=\mathrm{d}mL_f=\rho_a\mathrm{d}V\,L_f
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<math>\mathrm{d}V</math> es el volumen de la lámina de agua que se ha
+
-
congelado. Si la superficie del estanque es <math>A</math> este volumen es
+
-
<math>\mathrm{d}V=A\mathrm{d}h</math>. Entonces la energía cedida por el
+
-
agua en el tiempo <math>\mathrm{d}t</math> es
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\mathrm{d}Q=\rho_a AL_f\mathrm{d}h
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<math>L_f</math> es el calor latente de fusión del agua.
+
-
Ahora podemos igualar el calor transferido a través del hielo con el calor cedido por el agua en el intervalo de tiempo <math>\mathrm{d}t</math>
+
[[Crecimiento de una capa de hielo|'''Solución''']]
-
<center>
+
== [[ Potencia radiada por el Sol ]]==
-
<math>
+
-
\displaystyle
+
-
\rho_a AL_f\mathrm{d}h=k_HA\frac{\Delta T}{h}\mathrm{d}t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Esta es una ecuación diferencial en variables separables que podemos escribir
+
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<center>
 
-
<math>
 
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\displaystyle
 
-
h\mathrm{d}h=\frac{k_H\Delta T}{\rho_a L_f}\mathrm{d}t
 
-
</math>
 
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</center>
 
-
Integrando obtenemos
 
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<center>
 
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<math>
 
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\displaystyle
 
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h^2=\frac{2k_H\Delta T}{\rho_a L_f}t + C
 
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</math>
 
-
</center>
 
-
Para calcular la constante imponemos que para <math>t=0</math> el espesor de hielo es <math>h_0</math>. Obtenemos finalmente
 
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<center>
 
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<math>
 
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\displaystyle
 
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h(t)=\sqrt{h_0^2+\frac{2k_H\Delta T}{\rho_a L_f}t}
 
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</math>
 
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</center>
 
-
 
-
El tiempo necesario para que el grosor pase de <math>h_0</math> a
 
-
<math>h_f</math> es
 
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<center>
 
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<math>
 
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\displaystyle
 
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\Delta t=\frac{\rho_aL_f}{2k_H\Delta T}\left(h_f^2-h_0^2\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Para los datos del problema, tomando <math>k_H=2\,\mathrm{Wm^{-1}K^{-1}}</math> obtenemos
 
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<math>
 
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\displaystyle
 
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\Delta t=40\,\mathrm{s}
 
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</math>
 
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</center>
 
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=== [[ Potencia radiada por el Sol ]]===
 
La superficie del Sol tiene una temperatura de unos 5800 K. El radio del Sol es igual a <math>6.96\times10^8\,\mathrm{m}</math>.  
La superficie del Sol tiene una temperatura de unos 5800 K. El radio del Sol es igual a <math>6.96\times10^8\,\mathrm{m}</math>.  
Calcule la energía total radiada por el Sol cada segundo si la emisividad es <math>e=0.965</math>. Calcule la potencia que llega a la superficie  
Calcule la energía total radiada por el Sol cada segundo si la emisividad es <math>e=0.965</math>. Calcule la potencia que llega a la superficie  
Línea 202: Línea 55:
[[Potencia radiada por el Sol|'''Solución''']]
[[Potencia radiada por el Sol|'''Solución''']]
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La potencia emitida por una superficie irradiante es
 
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P=\sigma A e T^4
 
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donde <math>T</math> es la temperatura absoluta,<math>e</math> es la emisividad de la superficie, <math>A</math> es el área de la  superficie
 
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emisora y <math>\sigma=5.6697\times10^{-8}\,\mathrm{W/m^2K^4}</math> es la constante de Stefan-Boltzmann.
 
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En nuestro caso la superficie emisora es la del Sol. A partir de su radio podemos calcularla
 
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<math>
 
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A=4\pi R^2 = 6.09\times10^{18}\,\mathrm{m^2}
 
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</math>
 
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</center>
 
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Con los dos datos del problema podemos calcular la potencia radiada por el Sol
 
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<math>
 
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P = 4\pi R^2\sigma e T^4=3.77\times10^{26}\,\mathrm{W}
 
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</math>
 
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</center>
 
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Para calcular la fracción de esta potencia recibida por la Tierra, consideramos la esfera con centro en el Sol y de radio la distancia media entre
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[[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica|0]]
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el Sol y la Tierra. La superficie de esta esfera es
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[[Categoría:Primer principio de la termodinámica]]
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S_D = 4\pi D^2=2.83\times10^{23}\,\mathrm{m^2}
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La potencia total emitida por el Sol se distribuye uniformemente sobre esta superficie. La fracción de esta potencia recibida por el Sol
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es igual a la fracción de la superficie que la Tierra ofrece al Sol respecto a <math>S_D</math>. Esta fracción es
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\displaystyle \lambda=\frac{\pi R_T^2}{S_D}=4.55\times10^{-10}
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</center>
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No aparece el factor 4 porque el Sol ve a la Tierra esencialmente como un disco plano de radio <math>R_T</math>. Así, pues la potencia recibida
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por la superficie de la Tierra es
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<math>
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P_T =\lambda P = 1.72\times10^{17}\,\mathrm{W}
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Podemos comparar esta potencia con el consumo energético medio mundial. En el año 2005 este consumo fue
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CEM=1.6\times10^{13}\,\mathrm{W}
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</math>.
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Por tanto, la potencia que recibe la Tierra es
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<math>
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P_T\simeq10^4CEM
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</math>
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</center>
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última version al 11:08 22 feb 2014

Contenido

1 Trabajo en diferentes procesos

2 Calorímetro de flujo

3 Temperatura de una llama

4 Temperatura de un vaso metálico

5 Mezcla de agua y hielo

Dentro de un recipiente adiabático se sumerge un bloque de 100 g de hielo a 0.0 °C en 1.0 litros de agua a 20 °C. Determine si se funde todo el hielo y la temperatura final del sistema. ¿Qué ocurre si en lugar de 100 g se tiene 1.0 kg de hielo?

¿Cuánta entropía se produce en cada caso?

6 Mezcla de agua y vapor

En un calorímetro que contiene 200 g de hielo a -8.00oC se introducen 50.0 g de vapor de agua a 100oC. El equivalente en agua del calorímetro es 20.0 g. Determina el estado final de la mezcla.

Datos: calor específico del hielo: 0.500 cal/goC; entalpía de fusión del hielo: 80.0cal/g; entalpía de vaporización del agua: 537 cal/g

Solución

7 Mezcla de agua y hielo con bloque metálico

Un calorímetro contiene 500 g de agua y 300 g de hielo, todo ello a una temperatura de 0°C. Se coge un bloque metálico de 1000 g de un horno cuya temperatura es de 240°C y se deja caer rápidamente dentro del calorímetro, resultando que se produce exactamente la fusión de todo el hielo. ¿Cuál sería la temperatura final del sistema si la masa de hierro fuese el doble? Desprecia las pérdidas caloríficas del calorímetro y su capacidad calorífica.

Solución

8 Aleación de dos metales

9 Transformación de energía potencial gravitatoria en calor

Un bloque de hielo a 0°C se deja caer libremente desde una altura de 80 m. En el momento del choque, un 20% de la energía del bloque se transforma en calor absorbible por su masa. ¿Que parte del hielo se funde a causa de esta absorción?

Solución

10 Conducción térmica en dos barras en contacto

Una barra de oro está en contacto térmico con otra de plata de la misma longitud y área. Uno de los extremos de esta barra compuesta se mantiene a una temperatura de 80°C, mientras que el extremo opuesto está a 30°C. Cuando la transferencia de energía alcance un estado estacionario, ¿cuál será la temperatura en la unión?

Datos: conductividad térmica del oro: 314\mathrm{W/m\cdot ^oC}; conductividad térmica de la plata: 427\mathrm{W/m\cdot ^oC}

Solución

11 Crecimiento de una capa de hielo

Un estanque de agua a 0°C está cubierto por una capa de hielo de 4.00°cm de espesor. Si la temperatura del aire permanece constante a -10.0°C, ¿cuánto tardará el espesor de la capa de hielo en alcanzar los 8.00 cm?

Solución

12 Potencia radiada por el Sol

La superficie del Sol tiene una temperatura de unos 5800 K. El radio del Sol es igual a 6.96\times10^8\,\mathrm{m}. Calcule la energía total radiada por el Sol cada segundo si la emisividad es e = 0.965. Calcule la potencia que llega a la superficie de la Tierra, si el radio de esta es R_T=6400\,\mathrm{km}, y la distancia media Tierra-Sol es D=150\times10^6\,\mathrm{km}.

Solución

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