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Problemas del primer principio de la termodinámica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Barra homogénea)
(→Mezcla de agua y hielo)
 
(58 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 8: Línea 8:
== [[ Mezcla de agua y hielo ]]==
== [[ Mezcla de agua y hielo ]]==
 +
Dentro de un recipiente adiabático se sumerge un bloque de 100 g de hielo a 0.0 °C en 1.0 litros de agua a 20 °C. Determine si se funde todo el hielo y la temperatura final del sistema. ¿Qué ocurre si en lugar de 100 g se tiene 1.0 kg de hielo?
-
== [[ Mezcla de agua y vapor ]]==
+
¿Cuánta entropía se produce en cada caso?
-
== [[ Mezcla de agua y hielo con bloque metálico ]]==
+
== [[Mezcla de agua y vapor ]]==
 +
En un calorímetro que contiene 200 g de hielo a -8.00<sup>o</sup>C se introducen 50.0 g de vapor de agua a 100<sup>o</sup>C. El equivalente en agua del calorímetro es 20.0 g. Determina el estado final de la mezcla.
-
== [[ Aleación de dos metales ]]==
+
Datos: calor específico del hielo: 0.500 cal/g<sup>o</sup>C; entalpía de fusión del hielo: 80.0cal/g; entalpía de vaporización del agua: 537 cal/g
-
== [[ Transformación de energía potencial gravitatoria en calor ]]==
+
[[Mezcla de agua y vapor|'''Solución''']]
-
== [[ Conducción térmica en dos barras en contacto ]]==
+
[[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica]]
-
Una barra de oro está en contacto térmico con otra de plata de la misma longitud y área. Uno de los extremos de esta barra compuesta se mantiene a una temperatura de <math>80^o\mathrm{C}</math>, mientras que el extremo opuesto está a <math>30^o\,\mathrm{C}</math>. Cuando la transferencia de energía alcance un estado estacionario, ¿cuál será la temperatura en la unión?
+
== [[ Mezcla de agua y hielo con bloque metálico ]]==
 +
Un calorímetro contiene 500&thinsp;g de agua y 300&thinsp;g de hielo, todo ello a una temperatura de 0&deg;C. Se coge un bloque metálico de 1000&thinsp;g de un horno cuya temperatura es de 240&deg;C y se deja caer rápidamente dentro del calorímetro, resultando que se produce exactamente la fusión de todo el hielo. ¿Cuál sería la temperatura final del sistema si la masa de hierro fuese el doble? Desprecia las pérdidas caloríficas del calorímetro y su capacidad calorífica.
-
Datos: conductividad térmica del oro: <math>314\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>;
+
[[Mezcla de agua y hielo con bloque metálico|'''Solución''' ]]
-
conductividad térmica de la plata: <math>427\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>
+
-
=== Solución ===
+
== [[ Aleación de dos metales ]]==
-
==== Barra homogénea ====
+
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[[Imagen:Barra_conductividad_termica.jpg|right]]
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Examinemos primero el caso más sencillo de una barra homogénea de
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longitud <math> L </math> y conductividad térmica <math> k </math>
+
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sometida a temperaturas <math> T_1 </math> y <math> T_2 </math>, con
+
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<math> T_1>T_2 </math>.
+
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En la situación estacionaria, la potencia de energía térmica transferida desde el foco caliente al frío debe ser la misma en todos los puntos de la barra. En caso contrario, la temperatura no podría ser constante en cada punto de la barra. La potencia es
+
==[[Transformación de energía potencial gravitatoria en calor]]==
-
<center>
+
Un bloque de hielo a 0&deg;C se deja caer libremente desde una altura de 80&thinsp;m. En el momento del choque, un 20% de la energía del bloque se transforma en calor absorbible por su masa. ¿Que parte del hielo se funde a causa de esta absorción?
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<math>
+
-
{\dot{Q}}=kA\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}
+
-
</math>
+
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</center>
+
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donde <math>k</math> es la conductividad del material y <math>A</math> el área de la superficie a través de la que se transmite la energía. Nuestro objetivo es encontrar la función <math>T(x)</math> que describe la distribución de temperaturas entre los focos a <math>T_1</math> y <math>T_2</math>. Como la potencia <math>\dot{Q}</math> debe ser la misma en cada punto de la barra, debe cumplirse
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<center>
+
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<math>
+
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\dot{Q}=\mathrm{cte}=Ak\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=a_1=\mathrm{cte}
+
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</math>
+
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</center>
+
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Es decir,
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<center>
+
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<math>
+
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\mathrm{d}T=a_1\mathrm{d}x\Rightarrow T(x)=a_1x+a_2
+
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</math>
+
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</center>
+
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Las constantes <math>a_1</math> y <math>a_2</math> se determinan imponiendo que las temperaturas
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en los extremos de la barra deben ser <math>T_1</math> y <math>T_2</math>.
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\begin{array}{l}
+
-
T(0)=T_1\Rightarrow a_2=T_1\\
+
-
T(L)=T_2\Rightarrow a_1L+a_2=T_2
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
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</center>
+
-
De este modo la distribución de temperaturas en la barra es
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<center>
+
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<math>
+
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T(x)=-\frac{T_1-T_2}{L}x+T_1
+
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</math>
+
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</center>
+
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La temperatura varía linealmente desde la más alta hasta la mas baja. Hay que señalar que en el resultado final no aparece la conductividad térmica. Esto se debe a que la barra es homogénea.
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==== Barras homogéneas en contacto ====
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[[Transformación de energía potencial gravitatoria en calor|'''Solución''']]
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Consideremos ahora el caso del problema. Si <math>T_1>T_2</math>, la energía fluirá
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desde la izquierda hacia la derecha. En condiciones
+
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estacionarias, de nuevo la potencia de energía transferida
+
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debe ser la misma en todos los puntos del sistema.
+
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Nuestro objetivo ahora es encontrar la distribución de
+
==[[Conducción térmica en dos barras en contacto]]==
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temperaturas <math>T(x)</math> en el conjunto de las dos
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Una barra de oro está en contacto térmico con otra de plata de la misma longitud y área. Uno de los extremos de esta barra compuesta se mantiene a una temperatura de 80&deg;C, mientras que el extremo opuesto está a 30&deg;C. Cuando la transferencia de energía alcance un estado estacionario, ¿cuál será la temperatura en la unión?
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barras. Como cada una de las dos barras tiene características
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físicas distintas (en concreto, la conductividad térmica), la
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función <math>T(x)</math> tendrá una expresión diferente
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según que estemos en una barra u otra. Escogemos el eje
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<math>X</math> como se indica en la figura. Llamando
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<math>a</math> a la barra de oro y <math>b</math> a la de
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plata tenemos
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<center>
+
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<math>
+
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T(x) =\left\{
+
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\begin{array}{ll}
+
-
T_a(x)&0\leq x\leq L\\
+
-
T_b(x)&L\leq x\leq 2L
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Partiendo de la base del apartado anterior, como cada barra
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es un medio homogéneo, supondremos que la distribución de
+
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temperaturas es lineal en cada barra, es decir
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\begin{array}{l}
+
-
T_a(x)=a_1 x + a_2\\
+
-
T_b(x)=b_1 x+ b_2
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Tenemos cuatro constantes que hay determinar. Para encontrar
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cuanto valen imponemos las condiciones físicas del problema
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(técnicamente se llaman las condiciones de contorno)
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Por un lado, las temperaturas en los extremos deben ser
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Datos: conductividad térmica del oro: <math>314\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>; conductividad térmica de la plata: <math>427\mathrm{W/m\cdot ^oC}</math>
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<math>T_1</math> y <math>T_2</math>. Entonces
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\begin{array}{l}
+
-
T(0)=T_1\Rightarrow a_2=T_1\\
+
-
T(2L)=T_2\Rightarrow b_1 2L+ b_2=T_2
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Por otro lado
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[[Conducción térmica en dos barras en contacto|'''Solución''']]
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la temperatura debe variar de modo continuo al pasar de una
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barra a la otra. Esto impone la condición
+
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<center>
+
== [[Crecimiento de una capa de hielo]]==
-
<math>
+
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T_a(L)=T_b(L)\Rightarrow a_1L+a_2=b_1L+b_2
+
-
</math>
+
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</center>
+
-
Finalmente, en condiciones estacionarias la potencia
+
Un estanque de agua a 0&deg;C está cubierto por una capa de hielo de 4.00&deg;cm de espesor. Si la temperatura del aire permanece constante a
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transferida debe ser la misma en todos los puntos del
+
-10.0&deg;C, ¿cuánto tardará el espesor de la capa de hielo en alcanzar los 8.00&thinsp;cm?
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sistema. Esta potencia es
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-
<center>
+
[[Crecimiento de una capa de hielo|'''Solución''']]
-
<math>
+
-
\displaystyle
+
-
\dot{Q}=kA\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}{ll}\displaystyle
+
-
k_aA\frac{\mathrm{d}T_a}{\mathrm{d}x}=k_aAa_1  &0\leq x\leq L\\ &\\
+
-
\displaystyle
+
-
k_bA\frac{\mathrm{d}T_b}{\mathrm{d}x}=k_bAb_1 &L\leq x\leq 2L
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
En el punto de contacto el flujo de energía que llega por la
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izquierda debe ser igual al que sale por la derecha. Por
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tanto
+
-
<center>
+
== [[ Potencia radiada por el Sol ]]==
-
<math>
+
-
\dot{Q}(L^-)=\dot{Q}(L^+)\Rightarrow k_aa_1=k_b b_1
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
De este modo obtenemos cuatro ecuaciones que determinan las
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La superficie del Sol tiene una temperatura de unos 5800 K. El radio del Sol es igual a <math>6.96\times10^8\,\mathrm{m}</math>.
-
cuatro constantes en función de los datos del problema. La
+
Calcule la energía total radiada por el Sol cada segundo si la emisividad es <math>e=0.965</math>. Calcule la potencia que llega a la superficie
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solución del sistema de ecuaciones es
+
de la Tierra, si el radio de esta es <math>R_T=6400\,\mathrm{km}</math>, y la distancia media Tierra-Sol es
-
<center>
+
<math>D=150\times10^6\,\mathrm{km}</math>.
-
<math>
+
-
\begin{array}{l}
+
-
\displaystyle a_1 = -\frac{k_b(T_1-T_2)}{(k_a+k_b)L}\\ \\
+
-
\displaystyle a_2 = T_1\\ \\
+
-
\displaystyle b_1 = -\frac{k_a(T_1-T_2)}{(k_a+k_b)L}\\ \\
+
-
\displaystyle b_1 = -\frac{k_aT_2-k_bT_2-2k_aT_1}{k_a+k_b}\\
+
-
\\
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Para obtener la temperatura en el punto de contacto podemos
+
[[Potencia radiada por el Sol|'''Solución''']]
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usar <math>T_a(x)</math>
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\displaystyle T(L) = T_a(L)=a_1L+a_2 = \frac{k_a
+
-
T_1+k_bT_2}{k_a+k_b}
+
-
</math>
+
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</center>
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Podemos verificar que el resultado es razonable considerando
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la situación en que las dos barras tienen la misma
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conductividad térmica. Entonces el problema se reduciría al
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de la barra homogénea del apartado anterior, y la temperatura
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en el punto medio debería ser la media de las temperaturas en
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los extremos. Podemos comprobar que si <math>k_a=k_b</math>
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entonces obtenemos <math>T(L)=(T_1+T_2)/2</math>.
+
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Sustituyendo los valores numéricos dados por el problema
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[[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica|0]]
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tenemos
+
[[Categoría:Primer principio de la termodinámica]]
-
<center>
+
-
<math>
+
-
T(L)=51.2\mathrm{^oC}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
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+
-
== [[ Crecimiento de una capa de hielo ]]==
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-
 
+
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== [[ Potencia radiada por el Sol ]]==
+

última version al 11:08 22 feb 2014

Contenido

1 Trabajo en diferentes procesos

2 Calorímetro de flujo

3 Temperatura de una llama

4 Temperatura de un vaso metálico

5 Mezcla de agua y hielo

Dentro de un recipiente adiabático se sumerge un bloque de 100 g de hielo a 0.0 °C en 1.0 litros de agua a 20 °C. Determine si se funde todo el hielo y la temperatura final del sistema. ¿Qué ocurre si en lugar de 100 g se tiene 1.0 kg de hielo?

¿Cuánta entropía se produce en cada caso?

6 Mezcla de agua y vapor

En un calorímetro que contiene 200 g de hielo a -8.00oC se introducen 50.0 g de vapor de agua a 100oC. El equivalente en agua del calorímetro es 20.0 g. Determina el estado final de la mezcla.

Datos: calor específico del hielo: 0.500 cal/goC; entalpía de fusión del hielo: 80.0cal/g; entalpía de vaporización del agua: 537 cal/g

Solución

7 Mezcla de agua y hielo con bloque metálico

Un calorímetro contiene 500 g de agua y 300 g de hielo, todo ello a una temperatura de 0°C. Se coge un bloque metálico de 1000 g de un horno cuya temperatura es de 240°C y se deja caer rápidamente dentro del calorímetro, resultando que se produce exactamente la fusión de todo el hielo. ¿Cuál sería la temperatura final del sistema si la masa de hierro fuese el doble? Desprecia las pérdidas caloríficas del calorímetro y su capacidad calorífica.

Solución

8 Aleación de dos metales

9 Transformación de energía potencial gravitatoria en calor

Un bloque de hielo a 0°C se deja caer libremente desde una altura de 80 m. En el momento del choque, un 20% de la energía del bloque se transforma en calor absorbible por su masa. ¿Que parte del hielo se funde a causa de esta absorción?

Solución

10 Conducción térmica en dos barras en contacto

Una barra de oro está en contacto térmico con otra de plata de la misma longitud y área. Uno de los extremos de esta barra compuesta se mantiene a una temperatura de 80°C, mientras que el extremo opuesto está a 30°C. Cuando la transferencia de energía alcance un estado estacionario, ¿cuál será la temperatura en la unión?

Datos: conductividad térmica del oro: 314\mathrm{W/m\cdot ^oC}; conductividad térmica de la plata: 427\mathrm{W/m\cdot ^oC}

Solución

11 Crecimiento de una capa de hielo

Un estanque de agua a 0°C está cubierto por una capa de hielo de 4.00°cm de espesor. Si la temperatura del aire permanece constante a -10.0°C, ¿cuánto tardará el espesor de la capa de hielo en alcanzar los 8.00 cm?

Solución

12 Potencia radiada por el Sol

La superficie del Sol tiene una temperatura de unos 5800 K. El radio del Sol es igual a 6.96\times10^8\,\mathrm{m}. Calcule la energía total radiada por el Sol cada segundo si la emisividad es e = 0.965. Calcule la potencia que llega a la superficie de la Tierra, si el radio de esta es R_T=6400\,\mathrm{km}, y la distancia media Tierra-Sol es D=150\times10^6\,\mathrm{km}.

Solución

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