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Cálculo de divergencias y rotacionales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Rotacional)
(→Solución)
Línea 74: Línea 74:
====Rotacional====
====Rotacional====
Para el rotacional, en cartesianas,
Para el rotacional, en cartesianas,
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<center><math>\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix}
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\nabla\times\mathbf{B} = \dete{\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr
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\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
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\frac{\partial \ }{\partial x} &\frac{\partial \ }{\partial x} & \frac{\partial \ }{\partial x} \cr && \cr -y & x & 0}=
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\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -y & x & 0\end{matrix}\right|=
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  0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+2\mathbf{u}_{z}=2\mathbf{u}_{z}
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  0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+2\mathbf{u}_{z}=2\mathbf{u}_{z}</math></center>
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En cilíndricas
En cilíndricas
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\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\dete{\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \cr & & \cr
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<center><math>\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
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\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \frac{\partial \ }{\partial z} \cr && \cr 0 & \rho^2 & 0}=
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\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ 0 & \rho^2 & 0\end{matrix}\right|=
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  2\mathbf{u}_{z}
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  2\mathbf{u}_{z}</math></center>
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y en esféricas
y en esféricas
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\<center><math>\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
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\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\sen\theta}\dete{\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\sen\theta\mathbf{u}_{\varphi} \cr & & \cr
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\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ 0 & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right|=
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\frac{\partial \ }{\partial r} &\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \frac{\partial \ }{\partial \varphi} \cr && \cr 0 & 0 & r^2\sen^2\theta}=
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  2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\sen\theta\mathbf{u}_{\theta}</math></center>
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  2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\sen\theta\mathbf{u}_{\theta}
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De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.
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De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base
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diferentes, parece formalmente distinto.
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===Campo <math>C</math>===
===Campo <math>C</math>===

Revisión de 16:20 23 sep 2008

Contenido

1 Enunciado

Para los campos vectoriales

  1. \mathbf{A} = \mathbf{r}\,
  2. \mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,
  3. \mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,
  4. \mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?

2 Solución

2.1 Campo A

2.1.1 Divergencia

La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} = 3

Para este mismo campo, en cilíndricas, sustituyendo la expresión de \mathbf{r} dada en otro problema

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho^2}{\partial \rho}+\frac{\partial z}{\partial z} = \frac{2\rho}{\rho}+1 = 3

y, en esféricas,

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^3)}{\partial r}= 3

2.1.2 Rotacional

Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

\nabla\times\mathbf{A} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ x & y & z \end{matrix}\right| = 0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+0\mathbf{u}_{z}=\mathbf{0}

en cilíndricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ \rho & 0 & z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r & 0 & 0\end{matrix}\right| = \mathbf{0}

Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.

2.2 Campo B

2.2.1 Divergencia

Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = \frac{\partial (-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial 0}{\partial z}=0

En cilíndricas este campo se escribe

\mathbf{B} = -\rho\,\mathrm{sen}\varphi\mathbf{u}_{x}+\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{y}=\rho\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial \varphi}+0 = 0

En esféricas el campo es

\mathbf{B} = r \,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+0+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\right)}{\partial \varphi} = 0

2.2.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas,

\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -y & x & 0\end{matrix}\right|= 0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+2\mathbf{u}_{z}=2\mathbf{u}_{z}

En cilíndricas

\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ 0 & \rho^2 & 0\end{matrix}\right|= 2\mathbf{u}_{z}

y en esféricas

\
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ 0 & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right|= 2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\sen\theta\mathbf{u}_{\theta}

De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.

2.3 Campo C

2.3.1 Divergencia

2.3.2 Rotacional

2.4 Campo D

2.4.1 Divergencia

2.4.2 Rotacional

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_divergencias_y_rotacionales"

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